第19讲函数的表示法
【学习目标】
函数的表示法是八年级数学上学期第十八章内容,主要对函数的三个表示法进行讲解,重点是实际问
题的函数表示法,难点是数形结合思想的应用的归纳总结.通过这节课的学习为我们后期学习函数的应用
提供依据.
【基础知识】
1、解析法:用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法,这个等式称为函数的解析式(或函数关系式).简单明了,能从解析式了解函数与自变量之间的关系,便于理论上的分析与研究,但求对应值时需要逐个计算,且有的函数无法用解析式表示.
2、列表法:用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法;从表格中直接到自变量对应的函数值,查方便,但无法将自变量与函数值的全部对应值都列出来,且难以看出规律.
3、图像法:用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法;函数与自变量的对应关系、函数的变化情况及趋势
能够很直观地显示出来,但从图像上自变量与函数的对应值一般只能是近似的,且只能反映出变量间关系的一部分而不是全体.
4.三种表示法的相互联系与转化:由函数的解析式画函数的图像,一般分为“列表、描点、连线”三个步骤,通常称作描点作图法;同样,函数图像中点的坐标或表格中自变量与函数的对应值,也是函数解析式所
表示的方程的一个解.
【考点剖析】
考点一:解析法
【难度】★
【答案】
22
30
33
S t t
æö
=+££
ç÷
èø
.
【解析】路程=速度×时间,可知汽车行驶路程s与t的关系即为40
s t
=,由此汽车与A站
的距离
2
33
3
S s t
=+=+,本题注意函数自变量取值范围,汽车运动时间为40分,单位换算即为
2
3
h,
由此可得
2
3
t££.
【总结】考查函数解析式的求法,根据实际问题中相关等量关系结合题意即可进行计算,注意函数定义域.
例2.若某人以每分钟100米速度匀速行走,那么用行走的时间x (分)表示行走的路程y (米)的解
析式为______________,这样行走20公里需要__________小时.【难度】★
【答案】100y x =,
103
.【解析】路程=速度×时间,可知行走路程y 与x 的关系即为100y x =,行走20公里,注意
单位换算,令100201000x =´,解得200x =,10200min 3
h =
.【总结】考查函数解析式的求法,根据实际问题中相关等量关系结合题意即可进行计算,注意题目中的单位统一,进行单位换算.
例3.已知物体有A 向B 作直线运动,A 与B 之间的距离为20千米,求运动的速度v (千米/时)与所用
时间t (小时)的函数解析式.【难度】★【答案】20v t
=
.【解析】路程=速度×时间,得速度=路程÷时间,即路程一定的情况下,运动速度与运动
时间成反比,则运动速度与所用时间关系即为20
v t =.
【总结】考查函数解析式的求法,根据实际问题中相关等量关系结合题意即可进行计算.
例4.两个变量x 、y 满足:(2)(1)3x y -+=,则用变量x 来表示变量y 的解析式为________________.
【难度】★★【答案】52
x
y x -=
-
.【解析】由(2)(1)3x y -+=,即得312y x +=-,则有35122
x
y x x -=-=--.
【总结】利用等式的性质进行变形即可.
例5.若点P (x ,y )在第二、四象限的角平分线上,则用变量x 来表示变量y 的函数解析式为______
_________.【难度】★★【答案】y x =-.
【解析】点P (x ,y )在二、四象限角平分线上,则角平分线与坐标轴夹角即为45°,过点P
向坐标轴作垂线,即可得y x =,点在二、四象限,根据象限内点的正负性可知y x =-.【总结】二、四象限的角平分线表示直线y x =-,一、三象限的角平分线表示直线y x =.
例6.一司机驾驶汽车从甲地去乙地,以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地.
(1)当他按原路匀速返回时,求汽车速度v(千米/小时)与时间t(小时)之间的函数关系式;函数的表示法
(2)如果该司机匀速返回时,用了4.8小时,求返回的速度.
【难度】★★
【答案】(1)
480
v
t
=;(2)100/
km h.
【解析】(1)路程=速度×时间,得速度=路程÷时间,即路程一定的情况下,运动速度与运动时间成反比,根据题意可得返回路程与去的行程相同,即为806480km
´=,则运
动速度与所用时间关系即为
480
v
t =;
(2)令 4.8
t=,则有
480
100/
4.8
v km h ==.
【总结】考查函数解析式的求法,根据实际问题中相关等量关系结合题意即可求出函数关系,根据题意代值计算即可.
例7.收割机的油箱里盛油65kg,使用时,平均每小时耗油6kg
(1)如果收割机工作了4小时,那么油箱还剩多少千克的油?
(2)如果油箱里用掉36千克油,那么使用收割机工作的时间为多少小时?
(3)写出油箱里剩下的油y与使用收割机时间t之间的函数关系式?
(4)在此函数关系式中,求函数定义域.
【难度】★★
【答案】(1)41kg;(2)6h;(3)665
y t
=-+;(4)
65
6
t££.
【解析】(1)654641kg
-
´=;(2)3666h
¸=;
(3)收割机用油量=平均耗油量×工作时间,可知收割机耗油量即为6t,即得剩余油量656
y t
=-;
(4)实际问题中,
x
y
³
ì
í
³
î
,即得函数定义域为
65
6
t££.
【总结】考查函数解析式的求法,根据实际问题中相关等量关系结合题意即可进行计算,注意函数定义域.
考点二:列表法
例1.两个变量之间的依赖关系用列表来表达的,这种表示函数的方法叫做_______.
【难度】★
【答案】列表法
【总结】考查函数的表示法中列表法的概念.
例2.一位学生在乘坐磁悬浮列车从龙阳路站到上海浦东国际机场途中,记录了列车运行速度的变化情况,如下表:
时间t(分)01 1.52345 5.5678速度v(千米/时)01462173003003003003002811210
根据表中提供的信息回答下列问题:
(1)在哪一段时间内列车的速度逐渐加快?
(2)在哪一段时间内列车是匀速行驶的?在这一段时间内列车走了多少路程?
(3)在哪一段时间内列车的速度逐渐减慢?
【难度】★
【答案】(1)0~2分钟时间段;(2)2~5.5分钟时间段,列车走了17.5千米;(3)5.5~8分钟时间段.
【解析】分析图表可知,自变量是表示的时间t,函数表示的速度v,图表表示的是函数v 和自变量t之间的依赖关系,观察表格可知:
(1)速度逐渐加快的是0~2分钟时间段;
(2)匀速行驶的是2~5.5分钟时间段,注意单位换算,这段时间持续
7
5.52 3.5min
120
h -==,
列车行程即为
7
30017.5
120
km
´=;
(3)速度逐渐减慢的是5.5~8分钟时间段.
【总结】考查列表法表示函数关系,考查读表能力,注意观察表格中变量和变量之间的联系.例3.一种豆子在市场上出售,豆子的总售价与所售豆子的数量之间的数量关系如下表:所售豆子数量x(千克)00.51 1.52 2.53 3.54
售价y(元)012345678
(1)上表反映的变量是_____和____,_______是自变量,________是因变量,_____随
_____的变化而变化,_____是______的函数.
(2)若出售2.5千克豆子,售价应为_____元.
(3)根据你的预测,出售_____千克豆子,可得售价21元
(4)请写出售价与所售豆子数量的函数关系式________________.
【难度】★
【答案】(1)x,y,x,y,y,x,y,x;(2)5;(3)10.5;(4)2
y x
=.
【解析】(1)根据变量和函数的相关定义,即可判定x 和y 是变量,其中x 是自变量,y 是
因变量,y 随x 的变化而变化,y 是x 的函数;(2)查看上表可知 2.5x =,5y =;
(3)根据上表,可知每1kg 豆子的价格应为2元,21元可购得21210.5kg ¸=豆子;(4)依据上表,可知豆子的单价为2元,根据总价=单价×数量,可知售价与所售豆子关
系式为:2y x =.
【总结】把握相关定义,根据实际问题等量关系可求出函数解析式作出相应判断.
例4.按照我国的税法规定,个人所得税的缴纳方法是:月收入不超过3500元,免缴个人所得税;
超过3500元不超过5000元,超出部分需缴纳5%的个人所得税;例如下表:月收入(元)30003200360041004500月缴付个人所得税(元)
5
30
50
试写出月收入在3500元到5000元之间的个人缴纳的所得税y (元)与月收入x (元)之间的函数解析式,并求出月收入为4800元的职工每月需缴纳的个人所得税.(x 为正整数)【难度】★★
【答案】()5%3500y x =-,65元.
【解析】月收入在3500元到5000元之间,超过3500元,超过部分即为()3500x -元,这
一部分要缴纳5%个人所得税,可知缴税额()5%3500y x =-;令4800x =,即得
()5%4800350065y =´-=元.
【总结】纳税问题,要弄清楚是哪一部分需要缴税,以及对应的缴税比例,各个部分相加即为所应缴税额.
例5.一根弹簧不挂重物时长10厘米,当弹簧挂上质量为xkg 的重物时,其长度用y 表示,测得有关
的数据如下表:
(1)写出弹簧总长度y (cm )随所挂重物质量x (kg )变化的关系式;
所挂重物的质量x (kg )1234……弹簧的长度y (cm )
10+0.5
10+1.0
10+1.5
10+2.0
……
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