抽象函数是指函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法均未给出，只给出函数记号f(x)的一类函数.这类函数解决起来较抽象，但却能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力，对培养、提高学生的发散思维和创造思维等能力有很好的促进作用。因此，这类问题在高中数学的各类考试中经常出现。下面谈谈这类问题常见的几种解法：
一、赋值法
例1设函数f(x)的定义域为自然数集，若f(x+y) = f(x)+f(y)+x 对任意自然数x,y恒成立，且f(1) = 1，求f(x)的解析式。
解： 令y = 1, 则f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1，
∴ f(1) = 1
f(2)= f(1) +2
f(3) = f(2) +3
…
f(n) = f(n－1) +n
各式相加得：f(n) = 1+2+3+…+n =
∴ f(x) =
例2已知函数f(x)满足f(x+y)＋f(x－y) = 2 f(x) · f(y)，x∈R,
y∈R,且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数。
分析: 当令 x=y=0时,可得f(0)=1,再利用题中条件变形求解。
证明：令x = y = 0
∴ f(0) +f(0) = 2f 2 (0)
∵ f(0) ≠ 0, ∴ f(0) = 1
令 x = 0 , 则 f(y) + f(－y) = 2f(0) · f(y)
∴ f(－y) = f(y), ∵ y∈R,
∴ f(x)是偶函数
例3 已知函数f(x)的定义域为(0 , + ∞ )，对任意x > 0, y> 0
恒有f(xy) = f(x) + f(y)
求证：当x > 0时, f( ) = －f(x)
分析:当令x=y=1时,可得f(1)=0,再灵活运用f(1)=f(x·)可求得。
证明：令x = y = 1，则f(1) = f(1) + f(1)，∴ f(1) = 0
又令y = ，x > 0，则 f(1) = f(x) + f( )
∴ f(x) + f( ) = 0
即f( ) = －f(x)
二 定义法
在熟练掌握函数的定义、性质的基础上，对题中抽象函数给出的条件进行分析研究，运用定义、性质进行化简、变形，寻解决问题的方法。
例4函数f(2x)的定义域是[－1,1],则f(x)定义域为
f(log2x)定义域为___________
分析:认真理解复合函数定义域的定义,区分好题中三个定义域所指的变量x。
解： ∵ －1≤x≤1
∴ ≤2x≤2 ∴ f(x)定义域为[, 2]
∴ ≤log2x≤2 ∴ ≤x≤4
∴ f(log2x)定义域为[,4]
例5 已知f(x)是周期为2的偶函数，且在区间[0,1]上是增函数，则
f(－6.5)、f(－1)、f(0)的大小关系为_________________
分析:利用周期性,把各个变量表示在同一区间内,再结合其单调性,求出相应的函数值,比较大小。
解： ∵f(x)是周期为2的偶函数
∴ f(－6.5) = f(－6.5+ 3×2)= f(－0.5) = f(0.5)
f(－1) = f(1)
又∵f(x)在[0,1]上是增函数，∴f(0)< f(0.5)< f(1)
故f(0)< f(－6.5)< f(－1)
例6 定义在R上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,若f(x)=lg(10x+1),x∈R则g(x) =_____h(x) = ______
分析:由题中条件,结合函数的奇偶性,求出f(x)及f(－x)的解析式,再求出g(x)和h(x)。
解：依题意有g(x) + h(x) = f(x) = lg(10x+1) (1)
又∵g(x)是奇函数，h(x)是偶函数
∴ g(－x) + h(－x) = f(－x)
即－g(x) + h(x) = f(－x) = －lg(10x+1) (2)
由(1)、(2)得 g(x) = , h(x) = lg(10x+1)－
三、穿脱法
解决这类抽象函数，通常是根据函数变量相等、函数值相等或单调性、奇偶性、周期性等性质，对函数进行“穿脱”，从而达到相应的目的.常见的方法是变量代换。
例7已知f(x)是奇函数，当x > 0时，f(x) = x(1+x ) , 求当x< 0 时，f(x)的解析式。
分析: 利用变量间的代换,把x<0表示成－x>0,先求出相应f(－x),再结合函数的奇偶性,求出f(x)。
解： 令x < 0，即－x > 0
∴ f(－x) = (－x)(1－x)
又∵f(x)是奇函数
∴ －f(x) = －x(1－x)
∴ f(x) = x(1－x)
例8 已知f(x)是周期为2的函数，且在区间[－1,1 ]上表达式为
f(x)=－x＋1则在[2k+1 ,2k+3 ], k∈Z上的表达式为_________
分析:利用周期性把要求区间转化为已知的区间,结合条件求出表达式。
解：设t∈[－1,1 ]，则2k+2+t∈[2k+1 ,2k+3 ],
令T = 2k+2+t，则t = T－2k－2
又∵f(x)是周期为2的函数
∴f(2k+x) = f(x)
∴f(T) = f(2k+2+t) = f(t) = －t+1= －(T－2k－2)+1=－T+2k+3
∴f(x) = －x+2k+3 ,x∈[2k+1 ,2k+3 ]
四、图象法
即借助图形或图像的直观性，数形结合来得到问题的答案此类方法很常见也很有效,它避开了一些烦杂的计算,必须认真地体会.
例9 若奇函数f(x)在区间[3,7 ]上是增函数，且最小值为5，最大值为7，试判断在[－7,－3]上的单调性及最值情况
分析:利用题中条件,结合奇函数图象关于原点对称,可求出f(x)在相应区间的情况.
解：根据奇函数的图象关于原点对称的性质
不妨作图如下：由图可知
f(x)在[－7,－3]上是增函数
最小值为－7，最大值为－5
例10已知y = f(x)是
最小正周期为2的偶函数，它在区间[0 ,1 ]上的图象,如图所示线段AB，则在区间[1,2]上，f(x)的解析式是____________
分析:利用函数为偶函数,可画出[－1,0]的函数图象,再利用周期性可得到[1,2]的图象,最后根据图象的情况求出解析式。
解：∵f(x)是偶函数，周期为2，故可知f(x)在[1,2]的图象为线段BC，其中B（1,1）,C(2,2)
故在[1,2]上f(x)的解析式为y = x
例11已知f(x)是R上的奇函数，当x< 0时，f(x)为减函数，
且f(2)=0，则f(x)>0的解为______________
分析:利用函数的奇偶性及在x<0的函数图象,可知函数在x>0的图象情况,故可解出在x∈R,f(x)>0的解。
解：∵f(x)在R上是奇函数 且 f(x)在x<0为减函数
∴f(0) = 0 且 f(x)在x>0为减函数
又∵f(2) = 0，∴f(－2) = 0,
可知f(x)在R上的图象大致如右图：
故f(x)> 0的解为x<－2或0<x<2
五、其他
有少部分抽象函数的问题，它们必须灵活运用题中的条件，在特定的环境下，运用学过的知识和性质来寻问题的解决。
例12若f(x)是R上的减函数，且f(x)的图象经过点A(0,3)和
B(3,－1)，则不等式|f(x+1)－1| < 2的解为___________
分析:由A(0,3),B(3,－1)可知f(0)=3,f(3)=－1再结合f(x)在R上是减函数,可求得不等式的解。
解：∵|f(x+1)－1| < 2
∴ －1< f(x+1)<3
又∵ f(3) = －1 ,f(0 ) = 3
∴ f(3) < f(x+1)< f(0 )
又∵ f(x)是R上的减函数
∴ 0<x+1<3 ∴－1<x<2
例13 设f(x)函数是定义在R上的不恒为0的函数，且对任意的
a,b∈R，都有f(ab) = af(b) + bf(a)，
1) 求f(0)、f(1)的值
2) 若Tn = f(2n)，且Tn> 0函数的表示法，求证Tn+1>Tn (n∈N)
分析:通过赋值可解1),再结合题中条件利用放缩法可求得2)
解：1)∵f(ab) = af(b) + bf(a)
令a = b = 0, 则 f(0) = 0 f(0) + 0f(0)
∴ f(0) = 0
令 a = b = 1 , ∴ f(1) = 0
2)∵Tn = f(2n)，且Tn> 0，n∈N
∴ f(2) > 0
∴ Tn+1 = f(2 n+1) = f(2×2n) = 2f(2n) + 2 nf(2) > 2Tn>Tn
以上是高中阶段求抽象函数的常见题型及相应的思路、解法。希望通过上面的举例,能让同学们理解掌握这类问题的常用求法,并能达到举一反三,触类旁通的效果。
发布评论