函数值域的求法
求函数的值域时，要明确两点：一是函数值域的概念，二是函数的定义域和对应关系。常用的方法有：观察法、换元法、配方法、判别式法、数形结合法、分离常数法、反表示法、中间变量值域法等。
（1）观察法：有的函数结构并不复杂，可以通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的函数的值域求出函数的值域。如函数211x
y +=的值域{}10|≤<y y 。 （2）换元法：运用换元，将已知的函数转化为值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。例如：形如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,，均为常数，0≠ac ）的函数常用此法。
（3）配方法：若函数是二次函数的形式，即可化为()02≠++=a c bx ax y 型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间上二次函数最值得求法。如求函数32+-=x x y 的值域，因为()2212
≥+-=x y ，所以所求函数的值域为[)∞+，
2。 （4）判别式法：求形如f
ex dx c bx ax y ++++=22（f e d c b a ,,,,，不同时为0）的值域，常利用去分母的形式，把函数转化为关于x 的一元二次方程，通过方程有实根，判别式0≥∆，求出y 的取值范围，即得到函数的值域。
（5）数形结合法：有些函数的图像比较容易画出，可以通过函数的图像得出函数的值域；或者分段函数也常用画出函数图像的方法判断出函数的值域。例如：12--+=x x y 。
（6）分离常数法：形如()0≠++=
a b ax d cx y 的函数，经常采用分离常数法，将b
ax d cx ++变形为()b ax a bc d a c b ax a bc
函数的表示法
d b ax a
c +-+=+-++，再结合x 的取值范围确定b ax a bc
d +-的取值范围，
从而确定函数的值域。如求函数112+-=
x x y 的值域时，因为132+-=x y ，且01
3≠+x ，所以2≠y ，所以函数的值域为{}2,|≠∈y R y y 且。所以形如()0≠++=a b ax d cx y 的函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈a c y R y y 且,|。但求函数()21112≤≤+-=x x x y 的值域时，1
32+-=x y ，又因为21≤≤x ，所以312≤+≤x ，所以23131≤+≤
x ，所以12
1≤≤y ，故所求函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡121，。 （7）反表示法（反函数法）：如求函数()121-≥+-=
x x x y 的值域，由21+-=x x y 解出x ，可以得到()1112≠-+=y y y x ，而1-≥x ，所以1112-≥-+y y ，即01
2≤-+y y ，所以12<≤-y ，故所求函数的值域为[)1,2-。
（8）中间变量值域法（函数的有界性）：如求函数1422-+=x x y 的值域，由1
422-+=x x y 得()1142≠-+=y y y x ，而02≥x ，所以01
4≥-+y y ，所以1>y 或4-≤y ，故所求函数的值域为(]()+∞-∞-,14, 。
（9）函数的单调性法：利用函数的单调性及函数的定义域求函数的值域。例如1++=x x y 的定义域为[)+∞-,1，且在定义域上函数单调递增，即在1-=x 时，函数1++=x x y 取到最小值1min -=y ，故所求函数的值域为[)+∞-,1。
练习题：求出下列函数的值域。
（1）2-=x y  （2）122+--=x x x x y  （3）x x y 21--= （4）1
23422--+-=x x x x y