专题3.1  函数的概念及其表示
【考纲解读与核心素养】
1．了解函数的概念，会求简单的函数的定义域和值域.
2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法.
3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.
4.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.
5．高考预测：
（1）分段函数的应用,要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．
（2）函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查.
6.备考重点：
（1）理解函数的概念、函数的定义域、值域、函数的表示方法；
（2）以分段函数为背景考查函数的相关性质问题.
【知识清单】
1．函数的概念
函数
两个集合
A，B
设A，B是两个
非空数集
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数
值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
函数的表示法
3．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
【典例剖析】
高频考点一  函数的概念
【典例1】（2020·洪洞县第一中学高三期中（文））下面各组函数中是同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】D
【解析】
因为选项A中，对应关系不同，选项B中定义域不同，对应关系不同，选项C中，定义域不同，选项D中定义域和对应法则相同，故选D.
【典例2】在下列图形中，表示y是x的函数关系的是________．
【答案】①②
【解析】由函数定义可知，自变量对应唯一的值，所以③④错误，①②正确．
【规律方法】
函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同．
【变式探究】
1.，则与表示同一函数的是（    ）
A. ，           B. ，
C. ，     D. ，
【答案】C
【解析】A中: ;B中: ;C中：， ， ；D中： ,因此选C.
2.（2018届江西省检测考试（二））设，，函数的定义域为，值域为，则的图象可以是（  ）
A.         B.  
C.     D.
【答案】B
【解析】因为定义域为，所以舍去A;因为值域为，所以舍去D;因为对于定义域内每一个x有且只有一个y值，所以去掉C；选B.
【易混辨析】
1.判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．
2.从图象看，直线x=a与图象最多有一个交点.
高频考点二：求函数的定义域
【典例3】（2019·江苏高考真题）函数的定义域是_____.
【答案】.
【解析】
由已知得,
即
解得，
故函数的定义域为.
【典例4】（2020·河南省郑州一中高二期中（文））已知函数定义域是 ，则的定义域是（    ）
A．[0,]    B．    C．    D．
【答案】A
【解析】
因为函数定义域是
所以
所以，解得：
故函数的定义域是[0,]
故选：A
【典例5】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）已知函数的定义域是,则函数的定义域是(    )
A.    B.    C.    D.无法确定
【答案】C
【解析】
由已知，
，
即函数的定义域是，
故选：C．
【规律方法】
1.已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．