考试要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
知识梳理
1．函数的概念
给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素
(2)如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×)
(2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．(
×)(3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．(×
)
(4)函数f (x )－1，x ≥0，2，x <0的定义域为R .(√)教材改编题
1．(多选)下列所给图象是函数图象的是()
答案
CD 解析A 中，当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；B 中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；CD 中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．
2．下列各组函数表示同一个函数的是(
)A ．y ＝x －1与y ＝x 2－1x ＋1
B ．y ＝x －1与y ＝－1
x
C ．y ＝2x 2与y ＝2x
D ．y ＝2x －1与v ＝2t －1
答案
D 解析y ＝x －1的定义域为R ，y ＝x 2－1x ＋1
的定义域为{x |x ≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A 不正确；
y ＝x －1＝1x 与y ＝－1x
的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B 不正确；y ＝2x 2＝2|x |与y ＝2x 的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C 不正确；
y ＝2x －1与v ＝2t －1
的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选项D 正确．
3．已知函数f (x )x ，x >0，x ，x ≤0，则函数f ()A ．3B ．－3 C.1
3D ．－1
3
答案
C
解析由题意可知，f ln 13＝－ln 3，所以f f (－ln 3)＝e －ln 3＝13
.
题型一
函数的定义域例1(1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4
的定义域为()A ．(－4，－1)B ．(－4,1)
C ．(－1,1)
D ．(－1,1]答案
C
解析＋1>0，
x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1，故定义域为(－1,1)．
(2)已知函数f (x )的定义域为(－4，－2)，则函数g (x )＝f (x －1)＋x ＋2的定义域为________．答案
[－2，－1)解析∵f (x )的定义域为(－4，－2)，
要使g (x )＝f (x －1)＋x ＋2有意义，
4<x －1<－2，
＋2≥0，解得－2≤x <－1，
∴函数g (x )的定义域为[－2，－1)．
思维升华(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x 的取值集合；(2)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(3)若复合函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则函数f (x )的定义域为g (x )在[a ，b ]上的值域．跟踪训练1
(1)函数f (x )＝1ln (x －1)＋3－x 的定义域为()
A ．(1,3]
B ．(1,2)∪(2,3]
C ．(1,3)∪(3，＋∞)
D ．(－∞，3)答案
B
解析－1>0，－1≠1，
－x ≥0，
所以1<x <2或2<x ≤3，
所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]．
(2)(2023·南阳检测)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，则函数g (x )＝f (x －1)＋2x －1的定义域是()
A ．{x |x >2或x <0}|12≤x <2
C ．{x |x >2}|x ≥12答案
B 解析要使f (x )＝lg 1－x 1＋x 有意义，则1－x 1＋x
>0，即(1－x )(1＋x )>0，解得－1<x <1，
所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．
要使g (x )＝f (x －1)＋2x －1有意义，
1<x －1<1，
x －1≥0，
解得12
≤x <2，
所以函数g (x )|12
≤x <2题型二
函数的解析式例2(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式；
(2)已知f x 2＋1x
2，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．
(4)已知f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，求f (x )的解析式．
解(1)(换元法)设1－sin x ＝t ，t ∈[0,2]，
则sin x ＝1－t ，∵f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x ，
∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]．
即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．
(2)(配凑法)∵f x 2＋1x
2＝－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)(待定系数法)∵f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，
∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17.
即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，
＝2，
a ＋
b ＝17，＝2，
＝7.
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①
∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x.函数的表示法
思维升华函数解析式的求法
(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．
跟踪训练2(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是() A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7
C．f(x)＝x2＋2x－3D．f(x)＝x2＋6x－10
答案A
解析f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，
则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，
故f(x)＝x2＋6x.
(2)若f ＝x
1－x
，则f(x)＝________.
答案
1
x－1
(x≠0且x≠1)
解析f(x)＝
1
x
1－1
x
＝
1
x－1
(x≠0且x≠1)．
(3)已知函数f(x)满足f(x)＋
2f
3x，则f(2)等于()
A．－3B．3C．－1D．1答案A
解析f(x
)＋2
f3
x，①
则
f2f(x)＝－
3
x，②
联立①②解得f(x)＝－
2
x－x，则f(2)＝－
2
2－2＝－3.
题型三分段函数
例3(1)已知函数f(x)
x－1)，x>0，
ln(x＋e)＋2，x≤0，
则f(2024)的值为() A．－1B．0C．1D．2
答案C
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