三、形函数法
(2007-03-06 15:29:49)
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  形函数法是目前实体插值领域最重要的一种算法，是有限元分析的重要基础，同时也可应用于等高线的生成。
形函数法就是如何根据线段、平面多边形、空间多面体等的节点上的已知值来建立求解线段、平面多边形、空间多面体等内部任意一点的值的插值函数。平面多边形中除了平面三角形之外，基本可以应用等参单元法来求取形函数表达式；但是空间体中基本只有8节点六面体以及其变体的形函数可以应用等参单元法。对于不可以应用等参单元求解形函数的平面多边形或空间多面体，基本可以采用面积法或体积法来推导插值形函数。

  一、面积、体积法求取形函数


  对于平面三角形和空间四面体等，基本采用面积或体积法来求出形函数。
任取如下图平面三角形，节点逆时针分别为A（XA,YA ）、B（XB,YB ）、C（X函数的表示法C,YC ），任意待求点为P（XP,YP ），A、B、C点样本值分别为UA、UB、UC，待求P点的值为UP。
              　
图1 面积法求三角形形函数图
  根据上图DABP、DBCP、DCAP的面积分别为T1、T2、T3，显然有下式成立：
                    　SDABC＝T1＋T2＋T3
  上式两边分别除以SDABC，则上式转化为：

  根据上式就可定义A点的相对面积变量sA如下：
  显然当P点与A点重合，此时sA＝1，当P点B、C点重合时，显然sA＝0。同样可以B、C点。因此三角形的形函数可以表示为：
                      　
                           



  应用体积法同样可以求取空间四面体的插值形函数。下面给出其相应解。
  设空间四面体的4个节点分别为A（xA,yA,zA ）、B（xB,yB,zB ）、C（xC,yC,zC ）、D（xD,yD,zD ），任意待求点为P（xp,yp,zp ），A、B、C、D点样本值分别为UA、UB、UC、UD，待求P点的值为UP。则空间四面体的形函数可以表示为：