第二讲 函数的概念及表示方法
【基础知识回顾】函数的表示法
1. 函数的概念：设A B 、是非空的数集 ，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数.记作      ，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的      ；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合
{}()|f x x A ∈叫做函数的      .
2.  构成函数的三要素：        、      和      .
3.  函数定义域的常见求法： （1）分式的分母    ；
（2）偶次根式的被开方数      ；
（3）对数的真数大于零，底数      ；（若未学习到可先删去） （4）零次幂的底数        ；（若未学习到可先删去）
（5） 已知函数)(x f 的定义域为D ，求函数)]([x g f 的定义域，只需求满足D x g ∈)(的x 的取值范围. （6）复合函数与抽象函数的定义域
4. 函数的值域：常见方法（常见函数、观察、配方、图像、换元、判别式、对勾）
5. 函数解析式的常见求法（待定系数、换元、配凑、赋值、加减消元）： （1）待定系数法：
若已知函数的类型，比如二次函数可设为()()20f x ax bx c a =++≠，其中a 、b 、c 是待定系数，根据题设条件列出方程组，解出a 、b 、c 即可. （2）换元法：
已知()()f h x g x =⎡⎤⎣⎦，求()f x 时，往往可设()h x t =，从中解出x ，代入()g x 进行换元，便可求解.
【例题精讲】
【例1】 试判断以下各组函数是否表示同一函数.
（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ；              （2）f （x ）=x x |
|，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥.
01,01x x
（3）()2f x =()(
()21
2n g x n N -*
=
∈；  （4）f （x ）=
x
1+x ，g （x ）=x x +2；
（5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1.
【例2】 求下列函数的定义域.
（1）21
12
y x =-+；
（2）22
4
x y x -=
-；            （3）1||y x x =
+；
（4）2y =；    （5）1
||3
y x -；  （6）y =a 为常数且0a ≠）.
变式:
（1）已知函数f  （x ）的定义域为（0， 1），求f  （x 2）的定义域. （2）已知函数f  （2x  + 1）的定义域为（0， 1），求f  （x ）的定义域. （3）已知函数f  （x  + 1）的定义域为[–2， 3]，求f  （2x 2 – 2）的定义域.
【例3】 已知函数f （x ）=3
1
32
3
-+-ax ax x 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是        .
【例4】求函数的解析式 1.已知f （x ）=⎩
⎨
⎧>-≤0,0
,x x x x ，1)(+=x x g ，则=)]([x g f ___________________.
2.设23)1(2
+-=+x x x f ，求)(x f . 变式：11
)11(
2-=+x
x f ，求)(x f .
3.已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x .
变式：设二次函数()y f x =的最小值等于4，且()()026f f ==，求()f x 的解析式.
4.已知12()f x
+f （x ） = x  （x ≠0），求f （x ）的解析式.
【例5】 作出下列函数的图象：（1）y  = |x  – 1| + 2 |x  – 2|；（2）y  = |x 2 – 4x  + 3|.
【例6】求函数值域.
1. 求函数y =3x 2+2的值域.        变式：求函数y =5+21+x （x ≥-1）的值域.
2.求函数y=2
1x x ++的值域.
变式1：求函数y=2
1x x ++ ，x []3,1-∈的值域.
变式2：求函数y =3
425
2
+-x x 的值域.
【课后自我检测】
1. 求函数2
14
3)(2-+--=
x x x x f 的定义域.
2. 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)4
1(+=x f y )4
1(-⋅x f 的定义域.
3.已知[]22
1()12,()x g x x f g x x
-=-= （x ≠0）， 求1
()2f =          . 4.设12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域
5. 如果[]21f f x x =-（），求一次函数()f x 的解析式.
6.求下列函数的值域：
（1）232y x x =-+；    （2）y =；
7.根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式. （1）221)1(x
x x x f +=+
；    x x f x f 3)1
(2)()2(=+；  （3）13)2(2++=-x x x f .
8.设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ，且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f 的解析式.
9.设()f x 是定义在R 上的函数，对一切x ∈R 均有20f x f x ++=（）（），当1<1x -≤时，21f x x =-（），
求当13x <≤时，函数()f x 的解析式.