教学内容
知识梳理
知识点一、函数的概念
1．函数的定义
设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数. 
记作：y=f(x)，x A ．
其中，x 叫做叫做自变量自变量，x 的取值范围A 叫做函数的叫做函数的定义域定义域；
与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；
函数的表示法②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的致，而与表示自变量和函数值的字母字母无关. 
3．区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
(2)无穷区间；无穷区间；
(3)区间的数轴表示．区间的数轴表示．    区间表示：区间表示：
{x|a≤x≤b}=[a ，b]；
；  ；
. 知识点二、函数的表示法
1．函数的三种表示方法：
解析法：用数学解析法：用数学表达式表达式表示两个变量之间的对应关系．表示两个变量之间的对应关系．  优点：简明，给自变量求函数值. 
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．  优点：直观形象，反应变化趋势. 
列表法：列出列表法：列出表格表格来表示两个变量之间的对应关系．来表示两个变量之间的对应关系．  优点：不需计算就可看出函数值. 
2．分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的分段函数的解析式不能写成几个不同的方程方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．各部分的自变量的取值情况．
知识点三、映射与函数
1.映射定义：
设A 、B 是两个非是两个非空集空集合，如果按照某个对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的映射；记为f ：A→B.
象与原象：象与原象：如果给定一个从集合如果给定一个从集合A 到集合B 的映射，的映射，那么那么A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象. 
注意：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一；中的每一个元素都有象，且唯一；
(2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；
(3)a 的象记为f(a). 
2.函数：
设A 、B 是两个非空数集，若f ：A→B 是从集合A 到集合B 的映射，这个映射叫做从集合A 到集合B 的函数，记为y=f(x). 
注意：
注意：
(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；
函数一定是映射，映射不一定是函数；
(2)函数三要素：定义域、值域、
对应法则；
函数三要素：定义域、值域、对应法则
(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；
中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；
(4)原象
集合=定义域，值域=象集合. 
原象集合
例题讲解
类型一、函数概念
1.下列各组函数是否表示同一个函数？
下列各组函数是否表示同一个函数？
(1)
(2)
(3)
(4)
】判断下列命题的真假
真假
【变式1】判断下列命题的
(1)y=x-1与是同一函数；
是同一函数；
(2)与y=|x|是同一函数；
是同一函数；
(3)是同一函数；
是同一函数；
(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数. 
2.求下列
函数的定义域(用区间表示). 
求下列函数的定义
(1)；(2)；(3). 
】求下列函数的定义域：
【变式1】求下列函数的定义域：
(1)；(2)；(3). 
3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，，f(a)，f(a+1). 
【变式1】已知函数.
(1)求函数的定义域；
域；
(2)求f(-3)，的值；
的值；
f(a-1)的值. 
(3)(3)当a＞0时，求f(a)×
f(a)×f(a-1)
【变式2】已知f(x)=2x2
-
3x-25，g(x)=2x-5，求：
，求： (1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x)) 4. 求值域(用区间表示)：
(1)y=x 2
-2x+4；. 
类型二、映射与函数
5. 下列下列对应关系对应关系中，哪些是从A 到B 的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射?    (1)A=R ，B=R ，对应法则f ：取倒数；：取倒数；
(2)A={平面内的平面内的三角形三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f ：作三角形的：作三角形的外接圆外接圆；  (3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f ：作圆的：作圆的内接内接三角形．三角形．
【变式1】判断下列两个对应是否是】判断下列两个对应是否是集合集合A 到集合B 的映射？的映射？
①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则
②A=N *，B={0，1}，对应法则f:x→x 除以2得的得的余数余数；  ③A=N ，B={0，1，2}，f ：x→x 被3除所得的余数；除所得的余数；
④设X={0，1，2，3，4}，
【变式2】已知映射f ：A→B ，在f 的作用下，判断下列说法是否正确？的作用下，判断下列说法是否正确？
(1)任取x ∈A ，都有唯一的y ∈B 与x 对应；对应；
(2)A 中的某个元素在B 中可以没有象；中可以没有象；
(3)A 中的某个元素在B 中可以有两个以上的象；中可以有两个以上的象；
(4)A 中的不同的元素在B 中有不同的象；中有不同的象；
(5)B 中的元素在A 中都有原象；中都有原象；    (6)B 中的元素在A 中可以有两个或两个以上的原象. 【变式3】下列对应哪些是从A 到B 的映射？是从A 到B 的一一映射吗？是从A 到B 的函数吗？的函数吗？
(1)A=N ，B={1，-1}，f ：x→y=(x→y=(-1)-1)x ；  (2)A=N ，B=N +，f ：x→y=|x x→y=|x-3|-3|；
(3)A=R ，B=R ，
(4)A=Z ，B=N ，f ：x→y=|x|；
(5)A=N ，B=Z ，f ：x→y=|x|；
(6)A=N ，B=N ，f ：x→y=|x→y=|x|. x|. 
6. 已知A=R，B={(x，y)|x，y R}，f：A→B是从
集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素
是从集合
的象，B中元素的原象. 
的映射，其中
【变式1】设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中
(1)A={x|x＞0}，B=R，f：x→x2-2x-1，则A中元素的象及B中元素-1的原象分别为什么？
的原象分别为什么？
y)→(x-y-y，x+y)，则A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分别为什
(2)A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x
么？
么？
类型三、函数的表示方法
7. 求函数的
求函数的解析式
解析式
(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；
(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x). 
【变式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；
(2)已知：，求f[f(-1)]. 
8.作出下列函数的
作出下列函数的图象
图象. 
(1)；(2)；