得2sinB二cos)又cos)+0 ，所以tanB=-$.
点评：4sinBcos.-3sin2B二1这类方程可化为齐次方程，再转化为只含an)的方程求解，也可化为.+2)和os2B的一次式，再利用辅助角公式求解.
'2,2-2分析3：由余弦定理得(二-3'x----j&#求
出a#b#c间的关系，由此能求出cos.的值•
3
解法3：因为tanC二才,0vC V"，所以0VC V 号且sinC=-5,cosC二*.又因为c=-3'cos.，所以由余弦定理得C=-3'2'c a，所以5c2=3a2-3'2，即5(a2+'2-2a'cosC)=3a2一3'2，解得a=2'.所以C2=3/一3''2，即C=善5'.所以0S.=
a-C'二"1^5#所以sin)=+ /1-COS2)=弓# 2a55即tan)二丁.
分析4：灵活应用正余弦定理和同角三角函数的关系求解.
3
解法4：因为tanC二亍#0VC V"#所以0VC V ■"且sinC二丁#cosC二专.因为c=-3'cos.，所以由
-1
正弦定理得sinC=-3sin)cos.#所以cos.=V
5n
0#所以号V"V"，由此得0V)V号，所以os.>0.
又由余弦定理得C=-3'吕_—，所以5c2=3a2
2
3 -3'2，即 5sin2C=3sin2A-3sin2)#所以sin2A=-^-sin2)，所以1-2512)=^-sin2)#得sin)=咅# cos.=，从而tan)=；.
点评：本题考查三角形边的代数式求值，考查三角形的角的正切值的求法，考查余弦定理、正弦定理、同角三角函数恒等式、诱导公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是一个典型的中档题.
*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%例析利用切线放缩法巧解函数不等式问题
广东省汕头市澄海华侨中学(516007)潘敬贞
山东省滨州市邹平县黄山中学(256200)韩景岗
广东省市中学(515800)陈焕涛
在解有关函数不等式问题时，当题目中的函数解析式含有F或9%的四则运算时就可以考虑利用切线放缩法进行求解.在利用切线放缩法对问题进行求解的过程中，其最关键的是根据题意寻到合适的切点，从而得出合适的切线，然后利用切线放缩法有效的将问题转化为较为常规、简单的问题进行解答，最后顺利的将问题解决.如：函数*=e%在％=0处的切线方程为*=%+1，因此可得不等式F* %+1，当且仅当％=0时取得等号；函数*=e%在%= 1处的切线方程为*=ee，因此可得不等式e%*ee，当且仅当％=1时取得等号；函数*=9%在%=1处的切线方程为*=%-1，因此可得不等式In%#%-1，当且仅当％=1时取得等号；函数
*=9(%-1)在%=0处的切线方程为*=%，因此可得不等式9(%-1)#%，当且仅当％=0时取得等号；函数*=9%在%=e处的切线方程为*=三，因此可得不等式lnx#
—，当且仅当%=e时取得等号；函数*=9%在%= e
丄处的切线方程为*=e-2，因此可得不等式In%# e
ee_2，当且仅当％=丄时取得等号等等.是否是能根
e
据题意有效选取切点然后得到合适的不等式才是解决此类的关键，但解答问题的过程中，利用切线
放缩法得到的不等式是需要严格证明的.
例1(2018全国卷I文21)已知函数$%)= ae"-ln%-1.(1)设%=2是$%)的极值点，求&，并求$%)的单调区间；(2)证明：当a*丄时,$%)*0.
e
解析：(1)略.(2)证明：因为当a*丄，所以
e
%
$%)*—一9%-1=e%_1一9%-1.因为函数*=e%_1 e
在％二1处的切线方程为*=%，因此用切线放缩法可得不等式e%-1*%，当且仅当％=1时取等号，所以得e%_1-9%-1*%-9%-1当且仅当%=1时取等
1%-1号•设g(%)=%-9%-1，贝V g'(%)=1-——=-------
x x
当0v%v1时,g@%)<0，所以g(%)单调递减；当%>1时，g@%)>0，所以g(%)单调递增.所以%=1是g(%)的最小值点.故当％>0时,g(%)*g(1)= 0.因此，当&*丄时,/(%)*0.
e
评注：本题的第(2)问利用切线放缩法进行放缩，问题的解答过程简洁，思路清晰、自然.但在函数*=e”"的％=1处取切点，然后得切线方程*=%，从而可得不等式e”"*%成为本题利用切线放缩法解决问题的关键.
例2(2018全国卷皿文21)已知函数$%)= &.(1)求曲线*=/(%)在点'0,-1)处的切 e
线方程;(2)证明：当a*1时,/(%)+e
*0.
解析：(1)略•(2 )证明：因为$%)+e
*00
a%2+%-1
—%-----+e*00a%2+%-1+e%+1*0.因为函数e
*=e%+1在%=-1处的切线方程为*=%+2，因此用
切线放缩法可得不等式e%+1 *%+2，当且仅当%=
-1时取等号，所以a%2+%-1+e%+1*a%2+%-1+% +2=a%2+2%+1当且仅当％=-1时取等号.又因为a*1，所以a%2+2%+1*%2+2%+1=(%+1)2* 0，当且仅当%=-1取等号.故当a*1时，有/(%)+ e*0.
评注：本题的第(2)问的求解其关键是在函数* =e%+1的%=-1处取切点，然后得切线方程
*=%+ 2，从而得不等式e+1*%+2，后面问题的解决就相利.
例3(2014全国I理21)设函数$%)=ae”9%
%-1
+%，曲线*=/(%)在点'1,/(1))处的切线方程%
为*=€(%-1)+2.(1)求a,'；(2)证明：/(%)>1.
解析：(1)a=1,'=2过程略.(2)证明：因为
%-1
$%)>10e^ln%+>109%+—>—.因为函数
e e
*=e%在％二1处的切线方程为*=e，因此用切线放缩法可得不等式e%*
e，当且仅当％=1时取等号，
112所以亠#—，当且仅当％二1时取等号，所以9%+三e
1211
>—
—2In%+—
—*——09%+——*0.令g(先)=9%+ e%
丄，则g@%=e%1，当0<%<；丄时,g@%)<0，所
e%
以g(%)单调递减；当%>丄时,g@%)>0，所以g(%)
e
单调递增，所以g(%mi n=g(+)=0，所以$%)>1.当然，本题还可以考虑对9%进行切线放缩.因为函
数*=9%在％=e处的切线方程为*=三，所以用切
e
%11
线放缩法可得不等式lnx#—，所以In—#丄即9%
e x ex
-19%+2>1-1+21e%
ee
e%.令g(%=e%-ee，则g@%=e%-e，当0<%<1时,g@%)<0，所以g(%)单调递减；当％>1时，g@%)>0，所以g(%)单调递增，所以g(%min=g(1) =0，所以/(%)>1.
评注：当题目同时出现e"与9%时，我们可以根据题意对e"或9%进行切线放缩，本题的第(2 )问就如此，既可以对e*进行切线放缩也可以对9%进行切线放缩，都可以顺利解决问题.
例4(2020深圳一模理21)已知函数$%=
e%-a9(%-1),(其中常数e«，是自然对数的底数)-(1(若a e R，求函数/(%的极值点个数；(2)若函数/(%在区间(1,1+e-&)上不单调，证明丄+—+>a.
a a+1
解析：(1)函数$%的定义域为(1,+8), (%=(%_1)e-a.①当a#0时,/，(%>0，函数
1
代%在(1,+8)上单调递增，所以函数/(%无极值 点，即此时极值点个数为0;②当a>0时，令g(%= (%-1)e%-a(%>1),g(1)=(1-1)e1-a=-a <0，因为函数*=e%在％=0处的切线方程为*=% +1，因此用切线放缩法可得不等式e%*%+1，当且
仅当％ = 0时取等号，所以g (% = (%-1)e " - & >
(% -1) ( % +1) -&.令(% -1) ( % +1) - a  = 0 得 % =
>1，所以 M
) >0，故存在 %0 ! ( 1,
Ja  +1 )使得 g  ( %0 ) =0，所以当 ％ ! ( 1 ,%0 )时,M  ( % <0即/( % <0 ，所以函数$( %在(1,%0 )上单调递
减，当 ％! ( %0 , + 8 )时,g  ( % >0 即 /'( % >0，所以
函数$( %在(%0 , + 8 )上单调递增，所以函数/( %有 极小值点%0，即此时函数$( %的极值点个数为1.综
上所述，当�时，函数$( %的极值点个数为0；当
a  >0时，函数$( %的极值点个数为1.
(2 )证明：因为函数$( %在区间(1,1 +e -&)上
不单调，所以函数$( %在区间(1 ,1 +e-&)存在极值
点.由(1 )可知，当a  >0时,1 + F & > %0 ，所以
-a  1 + e  _ &
/'( 1 +e-a ) = 6，& ~a  >0 ，所以 e 1-&"「& >a ，两
e
边取自然对数得1 - a  + e~a  > Ina ，即1 一 Ina  + e~a  >
a ，此时要证丄 + 1 - > a ，不妨考虑 + 1 - > 1
aa+1 aa+1
-Ina  +e-a .因为函数* = e %在％二0处的切线方程 为*=% + 1，因此用切线放缩法可得不等式e %*% +
1，所以，当且仅当％=0时取等号，所以e  e  %+1=e
，即丄,* e.又 e%* % + 1，所以 e 宁-1 *a  1 a  1
[(丄 [
—
，所以e 書# a ，两边取自然对数得1 - 一 # Ina , aa
即—* 1 — Ina ，所以—+ —> a.a  a  a  +1
评注：本题的求解过程较为复杂，难度较大，但
切线放缩法在简化解答过程，化解思维痛点等起到
了很重要的作用.
例5 ( 2016山东理20 )已知/ ( %)=
2%-1
a  ( % - 9% +--2—，& ! R . ( 1 )讨论 f( %)的单调性；
%
3
(2)当a  = 1时，证明/(%) >/@% +寸对于任意的
% ! [ 1,2]成立.
解析：(1 )略.(2 )当a  = 1时，证明/( %) >
33
$ (% +—对于任意的％! [ 1,2 ]成立0% - 9% + —
2
12+ + -各-1 >0对于任意的%! , 1,2]成立.因为 X  X
函数
*二9%在% = 1处的切线方程为* = % - 1，因此
用切线放缩法可得不等式ln%#%-1 ，当且仅当% = 1时取等号，所以%-ln%*1当且％二1时取等号，所
312以此时只需证明2+*->0
对于任意的％! [1,
% %
312
2 [成立.令 G  (% = — + 飞一——，贝V  G  ( %)=
%%
—―
"设'(%) = - 3%2 _2%+6，贝寸'(%)在
%
[1,2]上单调递减，因为'(1) = 1,'(2) = - 10，所
以在 4%。! [1,2]使得 % ! (1 ,%0)时，'(%) >0,% !
(%0,2 )时,'(%) <0，所以函数h  ( %)在(1, %0)上单 调递增；在(%0,2)上单调递减，由于h  (1) =2,h (2)
33=，因此h ( %) *h (2)=，当且仅当%=2取得等
312
号，所以g( %) = % - In% + — +飞-飞一 1 >0对于任
%%
意的% ! [ 1,2 ]成立.故当a  =1时，证明f( %) >
3
/'( % +亍对于任意的%! [ 1,2 ]成立.
评注：本题的第(2 )问利用切线放缩法可得到
一个新的常规函数，然后再对其求最小值即可解决
问题，但需要注意两次等号不能同时取到才保证了 最后的等号取不到.
例6 (2019天津文20)设函数/(%) =ln% -a( % - 1) e %，其中 a  ! R . ( 1 )若 a#0，讨论 f( %)的单
调性；(2 )若0<a  <；丄,(i)证明/( %)恰有两个零点;
e
(ii)设%0为/(%)的极值点,％1为/(%)的零点，且%1 >
%0，证 明 3%0 一％1 >2.
解析：(1 ) +• ( 2 ) ( i)略；(ii)由题意得
『(％0)=0，即｛辭―1，”
[/(%1)二°, [ln%1 =a(%i  -1)e %
从而In%
%2 ]_n%
e %-%，即e %-% =丄耳.因为函数* = 1%在％ =1处
11的切线方程为*=%-1，因此用切线放缩法可得不
等式lnx#%-1 ，因为%>1 ，所以%-1 >0，所以％r
1#1当且仅当％ =1时取等号，又因为%! > %0 > 1 ，故
e % -% < %0 ("& ?)= % ，两边取对数得 lne % 一％ <
11
ln%0 ，所以 %j  -%0 < 21n%0 <2( %0 - 1)，整理得 3%0 -%[
>2.
虽然说切线放缩法并不是万能，但是在解有关 函数不等式问题时，当题目中的函数解析式含有e % 或n%的四则运算时，就可以考虑利用切线放缩法
对问题进行处理、求解.利用切线放缩法解有关函
数不等式问题可以有效突破解题智慧点，
化解思维
痛点，简化解题过程，提高解题效率.在利用切线放缩法对问题进行求解的过程中，其最关键是根据题意寻到合适的切点，从而得出合适的切线，然后利用切线放缩法有效的将问题转化为较为常规、简单的问题进行解答，最后巧妙的将问题解决.因此，在日常学习过程中，要引导学生勤于思考，多动手实践，提升数学思维水平，积累数学活动经验等，对促进学生数学能力的提升，发展数学核心素养水平大有裨益•
*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%绝对值函数问题的思维起点捕捉
浙江省宁波市镇海区骆驼中学(315000)丁林蓬
绝对值函数问题中蕴含着分类讨论、数形结合等数学思想，是数学核心素养养成的有效载体，在数学问题中，能到对问题的思维点，有助学学生利用分段函数的观点，充分的理解基本初等函数的性质.
1.捕捉分段点，绘制图形解题
绝对值函数在数学教材以分段函数形式首次出现，能够熟练的捕捉到分段函数的分段点，是解决绝对值问题的思维起点之一.结合高考、学考对于绝对值函数问题的不同要求，这里给出分段点的捕捉思路.
若代%,g(%为绝对值函数，且其分段点分别为%=%,%.则(1)/(%±g(%的分段点为%=%和%1；(2)/(/(%)的分段点为%与/(%=%的根；M(m(%)的分段点为％与/(%=%1的根.
例1将下列函数写为分段函数的形式：
(1)/(%=I g-1I+G-2I；
(2)/(/(%)，其中/(%=G-11
解析：(1)/(%的分段点为% =1，2，故/(% --2%+3，%<1，
二，1，1#%#2，
,2%-3，%>2；
(2)/(/(%)的分段点为％=1与代%=1的根，成立，求2的取值范围.
练习2已知函数/(%=&(1-21-；丨)，&
为常数且&>0.若％满足/(/(%0))=%0，但/(%0)+ %0，则称%0为函数/(%的二阶周期点.如果/(%)有两个二阶周期点，则求&的取值范围.
解析：按照已有的思维，可以得到：(1)/(/(%))={-4%*0，分离参数得2>学；
澄海华侨中学［-%,%<0,5
(2)经分析当&>；时,
4&2%,%#-—,
4&
-%，%<0，
/(/(%))
/(/(%))
4&2
1+4&2
%=0，1，2，故/(/(%)=<%，0<1,
2-%, 1<2,、%-2，光*2.
评析：能够在比较一般(如例1)的具体情形下，进行绝对值函数的分段是学考要求.相应的，学生也应在此基础上熟悉高考的抽象化要求.
练习1/(%=-％II，若2%+2>>(/(%)恒
2&一4&2%，丄<%#丄,
4&2
2&(1-2&)+4&2%，亠<%<<—.—-
24&
4&2-4&2%,%*
4&-1
4&
=%有四解，分别为%
由/(%0)+%0得X
2&2&
1+4&2，1+2&
2&
1+4&2
4&2
1+4&2
满足题.
2.捕捉翻折点，寻最值解题
绝对值函数有自身的几何意义，如|(%)-/是将函数/(%)的图象向上或向下平移之后，进行翻折得到的新的图象.在这层意义下，|(%)-/的最大值在原函数的/(%)的最大值或最小值处取得.
如，对于函数/(%)=I2+/I在区间［-1,2］上的最大值求解，若方*0,/(%)二/(2)；若- 4<<0, /(%)h*=2&%{/(2),/(0)4；若t#-4,/(%)max=/(0)-