2010年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学Ⅰ试题
参考公式:
锥体的体积公式: V锥体=Sh,其中S是锥体的底面积,h是高。
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.
1、设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a=______▲_____.
2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i(其中i为虚数单位),则z的模为______▲_____.
[解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等,z的模为2。
3、盒子中有大小相同的3只白球,1只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜不同的概率是_ ▲__.
[解析]考查古典概型知识。2
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则其抽样的100根中,有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。
[解析]考查频率分布直方图的知识。
100×(0.001+0.001+0.004)×5=30
5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数,则实数a=_______▲_________
[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数,由g(0)=0,得a=-1。
[解析]考查双曲线的定义。,为点M到右准线的距离,=2,MF=4。
7、右图是一个算法的流程图,则输出S的值是______▲_______
[解析]考查流程图理解。输出。
8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数,a1=16,则a1+a3+a5=____▲_____
[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(ak,ak2)处的切线方程为:当时,解得,
所以。
9、在平面直角坐标系xOy中,已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是______▲_____
[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2,
圆心(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离小于1,,的取值范围是(-13,13)。
10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P,过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____。
[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值,
且其中的x满足6cosx=5tanx,解得sinx=。线段P1P2的长为
11、已知函数,则满足不等式的x的范围是__▲___。
[解析] 考查分段函数的单调性。
[解析] 考查不等式的基本性质,等价转化思想。
,,,的最大值是27。
13、在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,,则=____▲_____。
[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转化思想。一题多解。
(方法一)考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。
当A=B或a=b时满足题意,此时有:,,,
,= 4。
(方法二),
由正弦定理,得:上式=
14、将边长为1m正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记,则S的最小值是____▲____。
[解析] 考查函数中的建模应用,等价转化思想。一题多解。
设剪成的小正三角形的边长为,则:
(方法一)利用导数求函数最小值。
,
,
当时,递减;当时,递增;
故当时,S的最小值是。
(方法二)利用函数的方法求最小值。
令,则:
故当时,S的最小值是。
二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15、(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;
(2)设实数t满足()·=0,求t的值。
[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力。满分14分。
(1)(方法一)由题设知,则
所以
故所求的两条对角线的长分别为、。
(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则:
E为B、C的中点,E(0,1)
又E(0,1)为A、D的中点,所以D(1,4)
故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=;
(2)由题设知:=(-2,-1),。
由()·=0,得:江苏高考满分多少,
从而所以。
或者:,
16、(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900。
(1)求证:PC⊥BC;
(2)求点A到平面PBC的距离。
[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。
(1)证明:因为PD⊥平面ABCD,BC平面ABCD,所以PD⊥BC。
由∠BCD=900,得CD⊥BC,
又PDDC=D,PD、DC平面PCD,
所以BC⊥平面PCD。
因为PC平面PCD,故PC⊥BC。
(2)(方法一)分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF,则:
易证DE∥CB,DE∥平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等。
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。
由(1)知:BC⊥平面PCD,所以平面PBC⊥平面PCD于PC,
因为PD=DC,PF=FC,所以DF⊥PC,所以DF⊥平面PBC于F。
易知DF=,故点A到平面PBC的距离等于。
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