严子超（贵州省毕节市民族中学 ５５１７００
）严子超２００５年毕业于贵州师范大学数学与应用数学专
业，
理学学士，中小学一级教师，
市级骨干教师。
要善于提炼方法、归纳总结、举一反三、触类旁通．本文针对一些常见题型和思维方法加以归纳，供参考．
例１ １名歌手和４名观众排成一排照相留念，若歌手不排在两端，共有多少种不同的排法
解法１ 优先考虑特殊位置，先排两端．从４名观众中选２人排两端，
有Ａ２
４
种不同的排法，再排剩下的三个位置，有Ａ３
３
种不同的排法，
由分步计数原理知，共有不同的排法
Ａ２
４
·Ａ３３
＝７２（种）．
解法２ 优先考虑特殊元素，先排歌手．因为歌手不排在两端，
所以歌手只能从剩下的３个位置选１个排，有Ａ１３种排法，然后４名观众站在另外４个位置，有Ａ４４种不同排法，由分步计数原理可知，共有不同的排法
Ａ１
３·Ａ４
４＝７２（种）．
注 对特殊元素或特殊位置作特殊的照顾，容易到通向成功之路的入口处．若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素；若以位置分析为主，要先满足特殊位置的要求，
再处理其它位置．如果特殊元素或特殊位置不止一个时，要注意正确的分类和分步，避免重复和遗漏．
２．元素相邻问题“捆绑法”
要求某些元素必须相邻的问题，可采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素捆绑在一起视为“一个元素”与其它元素进行排列，然后再将这些相邻的元素进行内部排列．
例２ 有８本不同的书，其中数学书３本，英语书２本，其它书３本，若将这些书排成一排放在书架上，
则数学书恰好排在一起，英语书也恰好排在一起，共有多少种不同的排法？
解 将数学书与英语书分别捆在一起看成两个不同的元素，再与其它３本书一起排列，有Ａ５５种不同排法，再将３本数学书内部进行自
排有Ａ３３种排法，２本英语书内部进行自排有Ａ２
２
种排法，
由分步计数原理可知，共有不同的排法
Ａ５
５Ａ３
３Ａ２
２＝１４４０（种）．
注 要求某些元素必须排在一起的问题，要先把相邻元素进行捆绑．处理此类问题一般遵循“先整体，后局部”的原则．
３．元素不相邻问题“插空法”
要求某些元素不相邻的问题，可先排其它没有限制条件的元素，然后在已经排好的元素
·
４１·２０２０１２
之间的间隙和两端的空位插入不相邻的元素，
使问题得以解决．
例３ ４名学生和２位老师站成一排合影，２位老师不相邻的不同排法共有多少种？
解 分两步进行：
第一步，由于２位老师不相邻，所以先将４名学生排序，有Ａ４
４
种不同排法．
第二步，将２位老师分别插入４名学生之
间的间隙及首尾两个空位中，有Ａ２
５
种不同排法，
由分步计数原理可知，共有不同的排法
Ａ４４·Ａ２５＝４８０（种）．
注 “元素不相邻问题”也称为“元素相离问题”，处理时先把没有位置要求的元素进行排列，再把不相邻元素插入已排好的各元素之间和两端的空位中．
４．选排混合问题“先选后排法”
对于排列问题与组合问题混在一起时，应先用组合公式将符合题意的元素选出，再利用排列公式进行排列．
例４ 从１，２，３，４，５，６，７这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中共有多少个不同的奇数？
解 先从１，３，５，７四个奇数中选择两个
有Ｃ２
４
种不同选法，再从２，４，６三个偶数中选择
两个有Ｃ２
３
种不同选法，由于个位数字必须是奇
数，所以先排个位有Ｃ１
２
种排法，其余三个元素进行十位，百位，千位三个位置的全排．
由分步计数原理可知，共有不同的奇数
数学天地Ｃ２４Ｃ２３Ｃ１２Ａ３３＝２１６（个）．
注 从几类元素中取出符合题意的若干元素，再安排到一定的位置上，可用先选后排法来处理．此方法是解决排列组合混合问题最基本的方法．
５．正难反易问题“间接法”
“间接法”又称“排除法”、“总体淘汰法”．有些问题从正面考虑较为错综复杂而不易得出答案时，可以从反面入手考虑，往往会取得意想不到的效果．即先不考虑题目限制条件，求出所有的排列数，然后再排除不符合条件的排列数．一般解含有“至少”、“至多”等限制条件的排列组合问题，可用此方法．
例５ 某校开设Ａ类选修课３门，Ｂ类选修课４门，某同学从中共选３门，若要求两类课
程中各至少选一门，则共有多少种不同的选法？
解 先不考虑限制条件，从７门选修课中选３门共有Ｃ３
７
种不同选法，所选３门选修课均
为Ａ类有Ｃ３
３
种不同选法，均为Ｂ类有Ｃ３
４
种不同选法，
由分步计数原理可知，共有不同的选法
Ｃ３７－Ｃ３３－Ｃ３４＝３０（种）．
注 对某些排列组合问题，从正面直接考虑比较复杂，而其反面情况却比较简单，可考虑从问题的反面入手，会让你进入“柳暗花明”的境界．
６．顺序一定问题“先排后除法”
“先排后除法”也称为“缩倍法”．要求某些元素必须保持一定顺序的排列问题，可以采用缩小倍数的方法来处理．即先把顺序一定的元素与其它元素一起进行全排列，再用全排列数除以顺序一定元素的全排列数．
例６ 某工程队有６项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行．那么安排这６项工程的不同排法共有多少种
解 依题意，丁必须在丙完成后立即进行，故可以把两个视为一个大元素，先不管其它
限制条件，使其与其它四个进行排列，共有Ａ５
５种排法，在所有这些排法中，甲，乙，丙相对顺序
固定共有Ａ３
３
种排法，
·
５
１
·
２０２０１２
由分步计数原理可知，共有不同的排法
Ａ５
５Ａ３３
＝
２０（种）．注 对“定序型”问题，若将ｎ个元素排成一排，其中要求ｍ（ｍ≤ｎ）个元素顺序一定．可先将ｎ个元素进行全排列有Ａｎｎ种排法，ｍ
（ｍ≤ｎ）个元素的全排列有Ａｍ
ｍ种排法，
由于要求ｍ个元素顺序一定，因此只能取其中的某一
种排法，则共有Ａｎ
ｎＡｍｍ
种不同排列方法．
７．标号排位问题“分步处理法”
把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题．要求某些元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，再排下一个元素，如此继续下去，依次即可完成．
例７ 毕业前夕，同室四人各写了一张毕业赠言，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的毕业赠言，则四张毕业赠言共有多少种不同的分配方式？
解 设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的毕业赠言分别标号为１，２，３，４．
第一步，甲取其中一张，有３种方式；第二步，假设甲取２号，则乙的取法可分两类：
（１）乙取１号，则接下来丙、丁的取法都是唯一的，
（２
）乙取３号或４号（２种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的．由分步计数原理可知，四张毕业赠言共有不同的分配方式
３×（１＋２）＝９
（种）．注 本例实际上也属于错位排列问题，即把编号为１至４的４个小球放入编号为１到４的４个盒子里，
每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不相同，共有多少种不同的放法８．可重复排列问题“求幂法”
“求幂法”又称为“住旅店法”，允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排各元素的位置，一般地：把ｎ个不同元素没有限制地放入到ｍ个不同的盒子中，
共有ｍｎ种不同的方法．例８ 现有６名同学去听同时进行的５个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，共有多少种不同的选法？
解 因为每位同学均有５个课外知识讲座可以选择，第一名同学有５种选法，第二名同学有５种选法，以此类推．问题就转化为：将６个不同的元素没有限制地放入到５个不同的盒子中，
由分步计数原理可知，共有不同的选法
５×５×５×５×５×５＝５６
（种）．
注 允许可以重复排列的问题，实际上就是信箱模型．一般地，把ｎ封不同的信投到ｍ个不同的信箱的排列数共有ｍｎ种．
９．不同元素分配问题“先分组后分配法” 对于不同元素的分配问题，可以按需分配
（即定人又定数可以直接取），也可以按照先分组再
分配的方式处理．分组时，如果是平均分组，则要注意去除组间顺序，避免重复计数．
例９ 将６位志愿者分成４组，其中两个组各２人，另两个组各１人，分赴世博会的四个不同场馆服务，共有多少种不同的分配方案？
解 先分组，由于有２个是平均分组，
所以两个两人组的分法有Ｃ２６Ｃ２
４
Ａ２２种，两个１人组
的分法有Ｃ１
２Ｃ１
１
Ａ２２
种，
由分步计数原理再进行分配，共有不同的分配方案
Ｃ２
６Ｃ２
４Ａ２
２·Ｃ１
２Ｃ１
１
Ａ２２
·Ａ４４＝１０８０（种）．·
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注 在分组时，组与组无顺序．若有平均分组，一定要除以平均分组的组数的阶乘，避免重复计数．
１０．相同元素分配问题“隔板法”
对于相同元素的分配问题，可以采用“隔板法”来处理．问题的一般形式：ｎ个相同小球放入ｍ（ｍ≤ｎ）个不同的盒子里，有多少种放法？
（１）若要求每个盒子里至少放一个小球，则问题等价于ｎ个相同的小球排成一排，从ｎ－１个间隙中插入ｍ－１块隔板，把它们隔成ｍ段
即可，共有Ｃｍ－１
ｎ－１
种不同的放法．
（２）若允许某些盒子空着，则相当于在ｎ＋ｍ－１个位置中，选ｍ－１个位置称为隔板，把ｎ
个位置分成ｍ份，共有Ｃｎ－１
ｎ＋ｍ－１
种不同的放法．例１０ 某校准备参加２０２０年高中数学联赛，把１０个选手名额分配到高三年级的８个教学班，每班至少一个名额，共有多少种不同的分配方案？
解 因为１０个名额没有差别，所以问题等价于把１０个相同小球放入８个盒子里，每个盒子至少有一个小球的放法种数．就是把１０个名额看成１０个相同的小球分成８堆，每堆至少一个，可以在１０个小球的９个空位中插入７块木板，每一种插法对应着一种分配方案，
因此，不同的分配方案共有Ｃ７
９＝３６
种．
注 运用隔板法必须同时具备两个条件：①所有元素必须相同；②所有元素必须分完．同时还要注意，盒子是否有空．
１１．多排问题“一排法”
把元素排成几排的排列问题称为多排问题．如果没有其他条件限制，可归结为一排考虑，再分段处理．
例１１ ８名同学排成前后两排，每排４名，其中男生甲和女生乙要排在前排，男生丙排在后排，共有多少种不同的排法？
解 男生甲和女生乙在前半段四个位置
中选排２个，有Ａ２
４
种排法，男生丙排在后半段
的四个位置中，有Ａ１
４
种排法，其余５名同学在
剩下的５个位置上任意排列，有Ａ５
５
种排法，
由分步计数原理可知，共有不同的排法
Ａ１４Ａ２４Ａ５５＝５７６０（种）．
注 一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排来处理．
１２．圆排问题“线排法”
把ｎ个不同元素放在圆周上的ｎ个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首、尾之分，因此可将某个元素固定展成线排，其它的ｍ－１元素全排列．即总数为（ｎ－１）！种．
例１２ ５对妹站成一圈，要求每对妹相邻，共有多少种不同的站法？
解 首先可让５位站成一圈，属于圆
排列问题，有Ａ４
４
种站法，然后在让妹妹插入其间，每位均可插入其的左边和右边，有２种方式，
由分步计数原理可知，共有不同的站法
２４×２５＝７６８（种）．
注 对于普通圆排列：ａ
１
，ａ
２
，ａ
３
，
…，ａ
ｎ
；ａ２，ａ３，ａ４，…，ａｎ，…；ａｎ，…，ａｎ－１在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，所以ｎ个元素的圆排列数有ｎ
！
ｎ
种．特别地，从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素作圆形排列，共
有１
ｍ
Ａｍｎ种不同的排法．
总之，排列组合问题不仅内容抽象，解法灵活多变，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，只要我们平时认真分析，思考，遵循排列组合问题的解题原则，寻解题的最佳策略，就能轻松解决问题，
从而在解题中立于不败之地．
·
７
１
·
２０２０１２
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