·数学基础精讲·
“集合”的几种理解偏差
唐宜钟（陕西省汉中市龙岗学校７２３１００
）唐宜钟高中数学教师。曾先后获得全国高中数学联赛
优秀指导教师，
“第八届优秀教学设计”省级一等奖，“第三届
中小学微课大赛”区级一等
奖。参与多项省市级课题，
发表论文多篇
。
１．集合的“整体性”例１
已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ＝２ｎ，ｎ∈Ｚ｝
，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ＝２（ｎ＋１），ｎ∈Ｚ｝
，集合Ａ与Ｂ相等吗
错解
集合Ａ与Ｂ不相等，
因为当ｎ取某个值时，集合Ａ中的值比集合Ｂ中的值少２．
错因分析
集合是一个整体的概念，而不是
元素一一对应进行比较．显然，集合Ａ和集合Ｂ从整体来看，
都表示偶数集，所以它们是相等的．例２
已知数集Ａ满足：对任意ａ∈Ａ，有
１
１－ａ
∈Ａ（
ａ≠１）．如果２∈Ａ，求集合Ａ．错解由２∈Ａ，得
１
１－２
＝－１∈Ａ，所以
Ａ＝｛－１，
２｝．错因分析ａ∈Ａ，则１
１－ａ
∈Ａ，
是集合整体的性质，对集合中的所有元素都成立，不单指ａ＝２．
正解
由２∈Ａ，得
１
数学天地
１－２
＝－１∈Ａ．由－１∈Ａ，得
１１－（－１
）＝１
２∈Ａ．由
１
２
∈Ａ，
得１
１－
１２
＝２∈Ａ．所以
Ａ＝－１，１
２
，２｛｝
．
２．元素的“同属性”例３
已知集合Ａ＝｛ｘ｜１＜ｘ＜３｝，Ｂ＝
｛ｙ｜２＜ｙ＜４
｝，求Ａ∩Ｂ．错解因为集合Ａ的代表元素是ｘ，集合Ｂ的代表元素是ｙ，代表元素不同．所以Ａ∩Ｂ＝ ．
错因分析
集合Ａ和集合Ｂ都表示数轴
上一段区间长度，它们的属性是相同的，与代表元素ｘ、ｙ“无关”，所以
Ａ∩Ｂ＝｛ｘ｜２＜ｘ＜３｝．
例４已知集合
Ａ＝｛ｘ｜ａｘ２＋２ｘ＋１＝０，ａ∈Ｒ｝是单元素集，求实数ａ的值．
错解
除了ａ＝０和ａ≠０时，Δ＝０．
还有解ａ≠０时，Δ＜０，ａ＞１．因为当ａ＞１时，方程无解，即 ．
故此时集合Ａ＝｛ ｝，有一个元素 ．错因分析
集合Ａ中的元素是数，此处
是一个集合，与Ａ中元素的属性相悖．故而
不能作为集合Ａ中的一个元素，即所求的ａ的值为０或１．
３．元素的“等效性”例５
化简集合
Ａ＝ｔ｜ｔ＝ｘ｜ｘ｜＋ｙ｜ｙ｜＋ｚ
｜
ｚ｜，ｘｙｚ≠０｛｝
．分析列举出所有的８种情况，去重，可得
Ａ＝｛－３，－１，１，３｝．事实上，ｘ，ｙ，ｚ是等效的，故不用一一细分，只需列举出三正、三负、一正两
（下转第３页）
所以０≤（ａ－ｃ）２＋（ｂ－ｄ）槡２
≤２，
即０≤（ａ－ｃ）２＋（ｂ－ｄ）２
≤４，化简得－１≤ａ
ｃ＋ｂｄ
≤
１，所以
｜
ａｃ＋ｂｄ｜≤１．图１图２
证法８依题意，不妨设Ｑ（ｃ，ｄ）
，易知点Ｑ在单位圆ｘ２＋ｙ２＝１上，并设过原点的一条直线方程为ｌ：ａｘ＋ｂｙ＝０，
如图２所示．因为点Ｑ到直线ｌ的距离ｄ≤１
（当且仅当垂足为Ｏ取等号），所以
ｄ＝｜
ａｃ＋ｂｄ｜ａ２＋ｂ槡
２
≤１，即
｜
ａｃ＋ｂｄ｜≤１．证法９
依题意，不妨设Ａ（ａ，ｂ），Ｂ（ｃ，ｄ）
为圆ｘ２＋ｙ２＝１上的点，
则点Ａ处的切线方程为ａｘ＋ｂｙ＝１，
即
ａｘ＋ｂｙ－１＝０．因为圆ｘ２＋ｙ２＝１与圆心Ｏ（０，０）均在直线ａｘ
＋ｂｙ－１＝０的同一侧，把圆心坐标Ｏ（０，０）代入ａｘ＋ｂｙ－１，有ａ×０＋ｂ×０－１＜０，
所以
圆心Ｏ（０，０）与点Ｂ（ｃ，ｄ）均在ａｘ＋ｂｙ
－１≤０所表示的平面区域内，
故ａｃ＋ｂｄ－１≤０，即
ａｃ＋ｂｄ≤１，
（点Ｂ与切点Ａ重合时取等号）．
若把Ａ点的坐标换成（－ａ，－ｂ），同理可证得ａｃ＋ｂｄ≥－１．所以
｜
ａｃ＋ｂｄ｜≤１．
（上接第１页）负、一负两正四种情况即可．例６设全集Ｕ＝｛ｘ∈Ｎ＋｜ｘ≤８｝，若（瓓ＵＡ）∪（瓓ＵＢ）＝｛１，２，３，４，５，６，７，８｝，Ａ∩（瓓ＵＢ）＝｛
２，８｝．求集合Ａ．解由（瓓ＵＡ）∪（瓓ＵＢ）
＝｛
１，２，３，４，５，６，７，８｝，得瓓Ｕ（Ａ∩Ｂ）＝｛１，２，３，４，５，６，７，８｝＝Ｕ，
所以Ａ∩Ｂ＝ ．又Ａ∩（瓓ＵＢ）＝｛
２，８｝，所以
２∈Ａ，８∈Ａ，２ Ｂ，８ Ｂ．
若１∈Ａ，则１ Ｂ，
于是有１∈Ａ∩（瓓ＵＢ），与题设矛盾，故
１∈Ｂ．
同理可得３、４、５、６、７也在Ｂ中，
故Ａ＝｛２，８｝．
事实上，仔细审题，容易发现，元素２、８是等效的，１、３、４、５、６、７也是等效的，若掌握此规律，解题速度可大大提高．
４．集合的“元素性”例７
用集合表达全体三角形．
错解｛全体三角形｝．正解｛三角形｝．事实上，“全体三角形”意为｛三角形｝，已经是一个集合．再将其放入集合中，｛｛三角形｝｝相当于集合中有一个元素，这个元素是集合｛三角形｝．同样的例证
有 ∈｛ ｝，  ｛ ｝．前一个表达式，把 当成元素．后一个表达式，把 当成集合．
例８当ａ，ｂ为何值时，集合Ａ＝｛ｘ｜ａｘ＋ｂ＝０
｝表示有限集．错解
当ａ≠０时，集合表示为Ａ＝
－ｂ
ａ｛｝，为单元素集．但不同的ａ和ｂ，对应着不同的值，合起来，集合Ａ为无限集．
正解
每一组ａ和ｂ，对应着一个集合Ａ．
此时，Ａ为单元素集．若将所有的ａ和ｂ合起来，意为Ａ＝
－ｂ１
ａ１｛｝，－ｂ２ａ２｛｝，－ｂ３ａ３
｛｝，…｛｝
．此时的集合，并不是题目要求的ａｘ＋ｂ＝０的解集，而是所有解集组成的“大集合”．