邓文忠（陕西省洋县黄安初中　７２３３０７
）邓文忠毕业于咸阳师专数学系，中学一级教师，第四届数学天地
县级名师，
教学之余喜欢研究数学解题、中考和竞赛，在省级以上杂志发表文章１３０余篇
。
１．
定理及证明
　图１
定理　过定角内一定点的直线与角两边围成的诸三角形中，当定点是它所在边的中点时，
此三角形面积最小，即如图１，Ｐ为定角∠Ｏ内一定点，直线ＡＢ过点Ｐ与∠Ｏ两边分别交于Ａ，Ｂ，当ＰＡ＝ＰＢ时，△Ｏ
ＡＢ的面积最小．
证明　过点Ｐ任意作直线Ａ′Ｂ′与角两边分别交于Ａ′，Ｂ′，只需证明Ｓ△ＯＡＢ＜Ｓ△ＯＡ′Ｂ′．
过点Ａ作ＡＣ∥ＯＢ（
若Ａ在ＯＡ′的延长线上，则过Ｂ作ＢＣ∥ＯＡ，结论一样）交ＰＡ′于点Ｃ，
则∠Ａ
ＣＰ＝∠ＢＢ′Ｐ，∠Ｃ
ＡＰ＝∠ＰＢＢ′，又因为ＰＡ＝ＰＢ，所以△Ｂ
Ｂ′Ｐ≌△ＡＣＰ，故Ｓ△ＢＢ′Ｐ＝
Ｓ△ＡＣＰ．于是
Ｓ△ＡＯＢ＝Ｓ梯形ＡＯＢ′Ｃ＜Ｓ△Ａ′ＯＢ′，
故当ＰＡ＝ＰＢ时，△ＤＡ
Ｂ的面积最小．２．
定理的尺规作图　过∠ＭＯＮ内一定点Ｐ作直线ＡＢ与∠Ｏ两边分别交于Ａ，Ｂ，且ＰＡ＝ＰＢ．
作法１　（１）过点Ｐ作ＰＣ⊥ＯＮ于点Ｃ；（２
）作Ｃ关于点Ｐ的对称点Ｄ；（３）过点Ｄ作ＡＤ⊥ＰＣ，
交ＯＭ于点Ａ；（４）作直线ＡＰ，
交ＯＮ于点Ｂ．如图２
．图２
图３
  作法２　（
１）作Ｏ关于点Ｐ的对称点Ｃ；（２）过点Ｃ作ＢＣ∥ＯＭ，
交ＯＮ于点Ｂ；（３）作直线ＰＢ，交ＯＭ于点Ａ．如图３．３．
定理的应用图４
例１　已知直线ｌ：ｙ＝４ｘ和点Ｒ（６，４），在ｌ上求一点Ｑ，使直线ＲＱ与ｌ及ｘ轴在第一象限内所围成的三角形的面积最小．解　如图４，设直线ＲＱ
与ｘ轴的交点为Ｐ．
由定理知当ＲＱ＝ＲＰ时，Ｓ△ＰＱＯ最小．
设Ｑ（ａ，４ａ），由线段中点坐标公式得Ｐ（１２－ａ，８－４ａ）
，由８－４ａ＝０，得ａ＝２，故Ｑ（２，８）．
例２　
问题探究图５
（１
）如图５，点Ｅ为矩形ＡＢＣＤ内一点，
请过点Ｅ作一条直线，将矩形ＡＢＣＤ的面积分为相等的两部分；
（２）如图６，在矩形ＡＢＣ
Ｄ
图６
中，ＡＢ＝８，ＢＣ＝６，Ｐ为对角线ＡＣ上一点，且ＡＣ＝３ＡＰ，请问在边ＣＤ上是否存在一点
Ｅ，使得直线ＰＥ将矩形ＡＢＣＤ的面积分为２∶３的两
部分，如果存在，求出ＤＥ的长；如果不存在，请说明理由．
·
３１·２０２０年第１２期数学中的思想和方法数理天地初中版
解决问题
图７
（３）如图７，现有一块矩形空地ＡＢＣＤ，ＡＢ＝８０ｍ，ＢＣ＝６０ｍ，Ｐ为对角线ＡＣ上一点，且ＰＣ＝３ＡＰ，计划在这块空地上修建一个四边形花园
ＡＥＣＦ，使得Ｅ，Ｆ分别在线段
ＡＤ，ＡＢ上，且ＥＦ经过点Ｐ，
若每平方米的造价为１００元，请求出修建该花园所需费用的范围（其他费用不计）．
简解　（１）略；（２
）２４
５
（过程略）；（３）因为ＰＣ＝３ＡＰ，所以Ｓ△ＥＰＣ＝３Ｓ△ＥＰＡ，Ｓ△ＰＣＦ＝３Ｓ△ＰＡＦ．
所以
Ｓ四边形ＡＥＣＦ＝４Ｓ△ＡＥＦ．
由定理知当ＰＥ＝ＰＦ时，Ｓ△ＡＥＦ最小．
过点Ｐ作ＰＧ⊥ＡＢ于点Ｇ（图略），则
ＡＥ＝２ＰＧ，ＡＦ＝２ＡＧ，
△ＡＰＧ∽△ＡＣＢ，所以
ＰＧ＝１４ＢＣ＝１５，
ＡＧ＝１
４
ＡＢ＝２０．
所以
ＡＥ＝３０，ＡＦ＝４０．
Ｓ四边形ＡＥＣＦ的最小值为
４×
１
２
×３
０×４０＝２４００（ｍ２）．当点Ｆ与点Ｂ重合时，Ｓ△ＡＥＦ最大，
此时ＡＥ＝１
３
ＢＣ＝２０，
Ｓ四边形ＡＥＣＦ
的最大值为
１
２
×（２０＋６０）×８
０＝３２００（ｍ２）．或当点Ｅ与点Ｄ重合时，Ｓ△ＡＥＦ最大，
此时ＡＦ＝１３ＣＤ＝８０
３
，
Ｓ四边形ＡＥＣＦ
的最大值为
１２×８０
３
＋８
０（）
×６０＝３２００（ｍ２）．所以修建该花园所需费用ｗ的范围为
２４００００元≤ｗ≤３２００００元
．
图８
  例３　如图８，
一块四边形土地ＯＡＢＣ中，ＯＡ＝６０ｍ，ＡＢ＝３０ｍ，Ｃ点到ＯＡ边的距离为４５ｍ，
使用测角器测得∠ＡＯＣ＝４５°，ＯＡ⊥
ＡＢ，ＯＣ⊥ＢＣ，
机井Ｐ距离ＯＡ，ＡＢ均是２０ｍ，
过机井Ｐ画一条分割线将这块地分成两块四边形地块（
与四边形土地ＯＡＢＣ）的一组对边相交，
则其中以点Ｏ为顶点的四边形地块的最大面积为
．
图９
解　如图９，当过点Ｐ的直线与四边形ＯＡＢＣ的一组对边ＯＣ，ＡＢ分别交于点Ｍ，Ｎ时，延长ＯＣ，ＡＢ交于点Ｄ．易得△ＯＡＤ是等腰直角三角形，所以Ｓ△ＡＯＤ＝
１２ＡＯ２＝１２
×６０２
＝１
８００（ｍ２）．由定理知，当ＰＮ＝ＰＭ时，Ｓ△ＭＮＤ最小，即Ｓ四边形ＡＮＭＯ最大．作ＰＰ１⊥ＯＡ，ＭＭ１⊥ＯＡ，垂足分别为Ｐ１，Ｍ１．所以Ｍ１Ｐ１＝Ｐ１Ａ＝２０，
ＯＭ１＝Ｍ１Ｍ＝２０．
所以ＭＮ∥ＯＡ．
所以Ｓ四边形ＯＡＮＭ＝Ｓ△ＯＭＭ１＋Ｓ四边形ＡＮＭＭ１
＝１
２
×２０×２０＋２０×４０＝１
０００（ｍ２）
．图１０
如图１０，
当过点Ｐ的直线与四边形ＯＡＢＣ的另一组对边ＣＢ，ＯＡ分别交于点Ｍ，Ｎ时，延长ＣＢ，
ＯＡ交于点Ｔ．易得△ＯＣＴ是等腰直角三角形，ＯＣ＝槡
４５　２．ＯＴ＝９０．
Ｓ△ＯＣＴ＝１２
ＯＣ２
＝２０２５（ｍ２）．
由定理知，当ＰＭ＝ＰＮ时，Ｓ△ＭＮＴ最小，即Ｓ四边形ＣＭＮＯ最大．所以ＮＰ１＝Ｍ１Ｐ１，
ＭＭ１＝２ＰＰ１＝４０．
·
４１·数理天地初中版数学中的思想和方法２０２０年第１２期
所以ＴＭ１＝４０．所以ＯＭ１＝ＯＴ－ＴＭ１＝５０．因为ＡＴ＝ＡＢ＝３０，所以ＡＭ１＝ＴＭ１－ＡＴ＝１０．因为ＡＰ１＝２０，所以Ｐ１Ｎ＝Ｐ１Ｍ１＝ＡＰ１－ＡＭ１＝１０．所以ＮＴ＝Ｐ１Ｎ＋ＡＰ１＋ＡＴ＝１
０＋２０＋３０＝６０．所以Ｓ△ＭＮＴ＝１
２
×４０×６０＝１２００（ｍ２）．
Ｓ四边形ＯＣＭＮ＝Ｓ△ＯＣＴ－Ｓ△ＭＮＴ
＝８
２５（ｍ２）＜１０００（ｍ２）．所以综上所述，截得四边形面积的最大值为１０００ｍ２
．
图１１
例４　如图１１，已知
∠ＭＯＮ＝６
０°，点Ｐ是∠ＭＯＮ内一点，
ＰＣ⊥ＯＭ于点Ｃ，ＰＣ＝３，ＯＣ＝槡
６　３，过点Ｐ作一条直线ＥＦ，使其分别交ＯＭ，ＯＮ于点Ｅ，Ｆ．
△ＥＯ
Ｆ的面积是否存在最小值若存在，求出此最小值；若不存在，请说明理由．
解　存在最小值，由定理知当ＰＥ＝ＰＦ时有最小值．
如图１２，作ＦＢ⊥ＯＭ于点Ｂ，ＦＡ⊥ＣＰ于点Ａ．易得△Ｐ
ＣＥ≌△ＰＡＦ，图１２
故
ＰＡ＝３，
于是ＦＢ＝６．
所以ＯＢ＝６
ｔａｎ６０°
＝槡
２　３．所以ＡＦ＝ＢＣ＝槡６　３　－槡２　３　＝槡
４　３．Ｓ△ＥＯＦ最小值为１
２
（槡４　３　＋槡６　３）×６　＝槡
３０　３．练习　
１．如图１３，一次函数的图象过点Ｐ（２，３），交ｘ轴的正半轴于点Ａ，交ｙ轴的正半轴于点
Ｂ，则△ＡＯＢ面积的最小值为
．
图１３
图１４
  ２．
如图１４，在道路ＯＡ，ＯＢ之间有一棵老树Ｑ需要保护，计划以道路ＯＡ，ＯＢ和过路口
Ｐ的一条直线ＭＮ为保护线，
建立一个面积最小的三角形保护区△ＭＯＮ．若测得∠ＡＯＢ＝
６６°，∠ＰＯ
Ｂ＝３０°，ＯＰ＝４ｍ，试求△ＭＯＮ的面积．（结果精确到０．１ｍ２）（参考数据：ｓｉｎ６６°≈０．９１，ｔａｎ６６°≈２．２５，槡
３≈１．７３）答案　１．１２．  ２．
１０．３ｍ２．
（上接１
２页）图６
证明５　如图６，过点Ｅ作ＥＧ∥ＢＣ交ＡＢ的延长线于点Ｇ，则
∠Ａ
ＢＣ＝∠ＡＧＥ，∠Ａ
ＣＢ＝∠ＡＥＧ．因为ＡＢ＝ＡＣ，所以∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ，则∠ＡＧＥ＝∠ＡＥＧ，所以ＡＧ＝ＡＥ，因为ＢＧ＝ＡＧ－ＡＢ，
ＣＥ＝ＡＥ－ＡＣ，
所以ＢＧ＝ＣＥ，因为ＢＤ＝ＣＥ，所以
ＢＧ＝ＢＤ，
则ＤＦ＝ＥＦ．
证明６　如图７，过点Ｄ作ＤＧ⊥ＢＣ于点Ｇ，过点Ｅ作ＥＨ⊥ＢＣ
于点Ｈ，图７
则∠ＤＧＢ＝∠Ｈ＝９０°．
因为ＡＢ＝ＡＣ，
所以
∠Ｂ＝∠Ａ
ＣＢ，因为∠ＡＣＢ＝∠ＥＣＨ，所以∠Ｂ＝∠ＥＣＨ，因为ＢＤ＝ＣＥ，所以Ｒｔ△ＢＤＧ≌Ｒｔ△ＣＥＨ，可得
ＤＧ＝ＥＨ．
因为∠ＤＦＧ＝∠ＥＦＨ，
∠Ｄ
ＧＦ＝∠ＥＨＣ＝９０°，所以△ＤＧＦ≌△ＥＨＦ，可得ＤＦ＝ＥＦ．
·
５１·２０２０年第１２期数学中的思想和方法数理天地初中版