正态分布的数学期望与方差
正态分布:
密度函数为: 分布函数为
的分布称为正态分布~记为N(a, σ2). 密度函数为:
或者
称为n元正态分布。其中B是n阶正定对称矩阵~a是任意实值行向
量。
称N(0,1)的正态分布为标准正态分布。 ,1, 验证是概率函数,正值 且积分为1, ,2, 基本性质:
,3, 二元正态分布:
其中 ~
二元正态分布的边际分布仍是正态分布:
二元正态分布的条件分布仍是正态分布:
即 ,其均值是x的线性函数,
其中r可证明是二元正态分布的相关系数。
,4, 矩~对标准正态随机变量~有
,5, 正态分布的特征函数
多元正态分布
,1, 验证其符合概率函数要求,应用 B为正定矩阵~L为非奇异阵~然后进行向量线性变换,
,2, n元正态分布结论
a) 其特征函数为:
b) 的任一子向量 ,m?n 也服从正态分布~分布为 其中 ~ 为保留B的第 ~ … 行及列所得的m阶矩阵。
表明:多元正态分布的边际分布还是正态分布
c) a,B分别是随机向量 的数学期望及协方差矩阵~即 表明:n元正态分布由它的前面二阶矩完全确定
d) 相互独立的充要条件是它们两两不相关
e) 若 ~ 为 的子向量~ 其中 是 ~ 的协方差矩阵~ 则是 ~ 相应分量的协方差构成的相互协方差矩阵。则 相互独立的充要条件为 ,0
f) 服从n元正态分布N(a,b)的充要条件是它的任何一个线性组合 服
从一元正态分布
表明:可以通过一元分布来研究多元正态分布
g) 服从n元正态分布N(a,b),C为任意的m×n阶矩阵~则 服从m元正态分布
表明:正态变量在线性变换下还是正态变量~这个性质简称正态变量的线性变换不变性
推论: 服从n元正态分布N(a,b)~则存在一个正交变化U~使得 是一个具有独立正态分布分量的随机向量~他的数学期望为Ua~而他的方差分量是B的特征值。
条件分布
若 服从n元正态分布N(a,b)~ ~则在给定 下~ 的分布还是正态分布~其条件数学期望:
(称为 关于 的回归)
其条件方差为:
,与 无关,
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落叶舞步婀娜不肯去~是眷恋~是装点,瞬间回眸~点亮了生命精彩。
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还有扬帆在落日下的古船~在心旷神怡中~做一帘红尘的幽梦。
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