苏教版八年级数学上册知识点
第1章全等三角形
一、全等三角形概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
两个三角形全等时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边,夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。
一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
2、全等三角形的表示
全等用符号“≌”表示,读作“全等于”。如△ABC≌△DEF,读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
注:记两个全等三角形时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、全等三角形有哪些性质
(1):全等三角形的对应边相等、对应角相等。
(2):全等三角形的周长相等、面积相等。
(3):全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
4、学习全等三角形应注意以下几个问题:
(1):要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角”与“对角”的不同含义;
(2):表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上;
(3):“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等;
(4):时刻注意图形中的隐含条件,如“公共角”、“公共边”、“对顶角”
5、全等三角形的判定
边边边:三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”)
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写成“SAS”)
角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“ASA”)
角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“AAS”)
直角三角形全等的判定:对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)
6、全等变换只改变图形的位置,二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括一下三种:
(1)平移变换:把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
(2)对称变换:将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。
(3)旋转变换:将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。
5、证明两个三角形全等的基本思路:一般来讲,应根据题设并结合图形,先确定两个三角形已知相等的边或角,然后按照判定公理或定理,寻并证明还缺少的条件.其基本思路是:
1).有两边对应相等,夹角对应相等,或第三边对应相等.前者利用SAS判定,后者利用SSS判定.
2).有两角对应相等,夹边对应相等,或任一等角的对边对应相等.前者利用ASA判定,后者利用AAS判定.
3).有一边和该边的对角对应相等,另一角对应相等.利用AAS判定.
4).有一边和该边的邻角对应相等,夹等角的另一边对应相等,或另一角对应相等.前者利用SAS判定,后者利用AAS判定.
二、角的平分线:
1、角平分线:把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线;
2、角平分线的性质定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等:①平分线上的点;
②点到边的距离;
3、角平分线的判定定理:角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上
4、方法规律(1)有角平分线,通常向角两边引垂线。
(2)证明点在角的平分线上,关键是要证明这个点到角两边的距离相等,即证明线段相等。常用方法有:使用全等三角形,角平分线的性质和利用面积相等,但特别要注意点到角两边的距离。
(3)注意:证题时可直接应用角平分线性质定理和判定定理,不必去全等三角形。
第2章轴对称图形
一、轴对称图形
1. 把一个图形沿着一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。
2.  把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形完全重合,那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点
3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
区别:
(1)轴对称是指两个图形间的位置关系,轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形;
(2)轴对称涉及两个图形,轴对称图形是对一个图形而言的.
联系:(1)定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合;
(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称;反过来,如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.
4.轴对称的性质
①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线
1.  经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等
3.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上
4.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等
四、等腰三角形的性质
1、有关定理及其推论
定理:等腰三角形有两边相等;
定理:等腰三角形的两个底角相等。
推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边且垂直于底边,也就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)。
推论2:等边三角形的各角相等,且每一个角都等于60°.等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形;
(二)等腰三角形的判定
1、有关的定理及其推论
定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边相等(等角对等边)
推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3、在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
1.等腰三角形的性质
①.等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角)
②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(三线合一)
等腰三角形的其他性质:
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)。
③等腰三角形的三边关系:设腰长为a,底边长为b,则 b/2<a
④等腰三角形的三角关系:设顶角为顶角为∠A,底角为∠B、∠C,则∠A=180°—2∠B,∠B=∠C= (180°-∠A) /2
等腰三角形的性质与判定
中线 1、等腰三角形底边上的中线垂直底边,平分顶角;
2、等腰三角形两腰上的中线相等,并且它们的交点与底边两端点距离相等。
判定 1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形;
2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边(平分这个边的对角),那么这个三角形是等腰三角形
角平分线
数学八年级上册1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边;
2、等腰三角形两底角平分线相等,并且它们的交点到底边两端点的距离相等。
判定; 1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边(平分对边),那么这个三角形是等腰三角形;  2、三角形中两个角的平分线相等,那么这个三角形是等腰三角形。
高线 1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边;  2、等腰三角形两腰上的高相等,并且它们的交点和底边两端点距离相等。
判定:1、如果一个三角形一边上的高平分这条边(平分这条边的对角),那么这个三角形是等腰三角形;  2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。
角边等边对等角底的一半<;腰长<;周长的一半
判定:等角对等边两边相等的三角形是等腰三角形
4、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。
(2)要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。