【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）
专题21立体几何之夹角、距离问题
目录一览一、典型例题讲解
二、梳理必备知识
三、基础知识过关
四、解题技巧实战
五、跟踪训练达标
（1）面面夹角
（2）线面夹角
（3）点到线的距离
（4）点到面的距离六、高考真题衔接
1.空间中的角
（1）异面直线所成角公式：设 a ， b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，
则cos cos ,⋅==      a b a b a b
θ．（2）线面角公式：设l 为平面α的斜线， a 为l 的方向向量， n 为平面α的法向量，θ为二、梳理必备知识
l 与α所成角的大小，则sin cos ,⋅==      a n a n a n
θ．（3）二面角公式：
设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,=      n n θ或12,-      n n π（需要根据具体情况
判断相等或互补），其中1212
cos ⋅=            n n n n θ．2.空间中的距离
求解空间中的距离
（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．
如图，设两条异面直线，a b 的公垂线的方向向量为 n ，这时分别在，a b 上任取，A B 两点，则向量在 n 上
的正射影长就是两条异面直线，a b 的距离．则||||||||
⋅=⋅=            n AB n d AB n n 即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．备战高考
（2）点到平面的距离
A 为平面α外一点（如图）， n 为平面α的法向量，过A 作平面α的斜线A
B 及垂线AH ．
|n ||n |||||sin |||cos ,|=||n n ⋅⋅=⋅=⋅<>=⋅                                    AB AB AH AB AB AB n AB AB θ，||||
⋅=      AB n d n 三、解题技巧实战
1．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB CD ∥，AB ⊥BC ，12
2
BC CD PA PD AB ====
=，PC =E 为AB 的中点．
(1)证明：BD ⊥平面APD ；
(2)求平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值．在△CDO 中，易得222OC CD DO =+-又23PC =，∴222OC PO PC +=，∴PO
则D （0，0，0），()22,0,0A ，(0,22,0B ∴()22,2,2CP =-    ，()
22,0,0CE =    ，∵BD ⊥平面APD ，∴平面APD 的一个法向量为则2200
n CP n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩              ，得22220220x y z x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，取∴1212cos ,212
n n ==⨯    ，∴平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值为
【点睛】方法点拨
利用向量法求二面角的方法主要有两种：（平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的范围；两个半平面内到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．2．如图，已知多面体111ABC A B C -中，111,,A A B B C C 均垂直于平面ABC ,120ABC ∠= ，14A A =，111,2C C AB BC B B ====.请用空间向量的方法解答下列问题：求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值.
由题意知()(0,3,0,1,0,0A B -设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为可知()(10,23,1,1,AC AB ==        设平面1ABB 的法向量(,n x = 则10,0,n AB n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩          即30,20,x y z ⎧+=⎪⎨=⎪
⎩令1y =，则3,0x z =-=，可得平面111sin cos ,AC AC n AC θ⋅∴==⋅                ∴直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值是