2022年全国硕士研究生招生考试数学一
1.设，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】由于，所以.故选B.
2. 设可导，，若,则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】,，
则因此,即.
故
3. 设，则（ ）
A．若存在，则存在.
B．若存在，则存在.
C．若存在且存在，则不一定存在.
D．若存在且存在，则不一定存在.
【答案】D.
【解析】对选项A，B,若 ，均存在，但不存在，故排除A，B,.
4. , , ,则
A. B.
C. D.
【答案】A.
【解析】由于， 所以
，
5. 下列是可对角化的充分而非必要条件是（ ）
A. A有3个不同特征值
C. A有3个两两无关的特征向量
D. A不同特征值对应的特征向量正交
【答案】A
6. 设矩阵均为阶方阵，若与同解，则（ ）.
A. 仅有零解
B. 仅有零解
C. 与同解
D. 与同解
【答案】C
【解析】设，这里是维列向量.
若与同解即与同解.由于与同解，若，则，反之亦然.因此等价于，所以C.选项符合题意.
7. 设，若与等价，则( ).
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由于
，
.
当时，，此时与等价.
当时，,与不等价.当时，,与不等价.因此当或时，与不等价等价，所以的取值范围为
.
8. 设,求( ).
A. B. C. D.
【解析】由知，,故
.
9. 设独立同分布，用切比雪夫不等式估计
A. B.
C. D.
【答案】C.
【解析】
易知，，
，
，
故，由切比雪夫不等式得
.
故选C.
10. 设，在的条件下，，则与的相关系数为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由得，,,,
又在的条件下，，则
，
所以.从而
，
即，则,,故
，
其中
,
所以，故选D..
二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.
11．在处最大的方向导数为__________.
【答案】.
【解析】由已知可得，，故，综上.
12. .
【答案】.
【解析】
13. 设恒成立，则的最小值为_____.
【分析】由已知可得，问题转化为计算在上得最大值.
【解】时，令，则
，，
令，解得驻点为.
，
，
，
对驻点，，，为极小值点，及.
对驻点，，，不为极值点.
当，，则，得为驻点，又，，为最大值
同理可得也为最大值.
综上可得.
14.级数的收敛域为，则__________.
.
【解析】令，则
，
解得，故.
15. 设可逆，若满足，则___________。
【答案】
【解析】由于，又可逆，因此
，从而有可逆，因此
16. 设满足互不相容，互不相容，相互独立，，则____________.
【答案】
【解析】由题知，，，,
所求概率由条件概率公式得：
，
将，代入得
.
17.（本题满分10分）
设满足求渐近线.
【解析】由题意可得
.
又，有故
.
设的渐近线方程为，
因此的斜渐近线为.
18.（本题满分12分）
设 求二重积分.
【解析】如图所示：增加一条直线，则将积分区域分为两部分：和，其中关于轴对称，于是
.
19.（本题满分12分）
设为的上侧，的边界的方向与的侧符合右手法则，求.
【解】油斯托克斯公式得
.
补面，取后侧，，取左侧，，取下侧，
所以围成了封闭的曲面，取外侧，所围空间几何体为，由高斯公式可得
.
20.（本题满分12分）
设在上有二阶连续导数，证明：的充要条件是对任意的实数，有.
证明：“”令，则.
由于，所以单增，从而，故，单调递减.
,,则，及.
“” ，取，其中，则
,
从而
.
由
，
同时由极限的保号性知.
21.（本题满分12分）
设二次型.
(1)求二次型矩阵
(2)求正交矩阵，使得二次型经正交变换化为标准形
(3)求的解
【解】
(1) 据题意，,
故.
(2)易得的特征值为.
当时，解，由
，
得对应的特征值为.
当时，解，得对应的特征值为和.
实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，故只需将正交化，得
，.
将单位化，得
.
令，经正交变换，将化为标准形.
(3)在正交变换下，化为.由，得，则
，其中为任意常数.
22.（本题满分12分）
设是来自期望为的指数分布的简单随机样本，是来自期望为的指数分布的简单随机样本，且相互独立，求的最大似然估计量，及.
【解析】由已知,,
所以总体,，从而可得
设为样本的观测值，且样本相互独立，则似然函数为
当时，似然函数两边取对数
，
令，解得，
故的最大似然估计量为.
由,，则，
则.
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