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A12标准奥数教程逻辑推理问题
【知识要点和基本方法】
1.逻辑推理问题
在近年来的许多竞赛试题中，常常会见到这样的一类题目，没有或很少给出什么数量关系；他们的解决方法主要不是依靠数学概念、法则、公式进行运算，较少用到专门的数学知识，而是根据条件和结论之间的逻辑关系，进行合理的推理，做出正确的判断，最终到问题的答案，这就是逻辑推理问题（详见例题）
2．逻辑推理问题的条件一般说来都具有一定的隐蔽性和迷惑性命且没有一定的解题模式。因此，要正确解决这类问题，不仅需要始终抱地灵活的头脑，更需要遵循逻辑思维的基本规律------同一律、矛盾律和排中律。
（1）“矛盾律”指的是在逻辑推理过程中，对同一结论的推理不能自相矛盾。
（2）“排中律”值的是在逻辑推理过程中，一个思想或为真或为假，不能既不真或为假，不能既不真也不假。
（3）“同一律”指的是在逻辑推理过程中，同一对象的内涵必须是确定的，在进行判断和推理的过程中，每一概念都必须在同一意义下使用，不许偷换。
3. 逻辑推理问题拮据的方法一般有：
（1）列表画图法。 （2）假设推理法。（3）枚举筛选法。
注：列表即将同一对象的两种不同表达方式分别用行与列标出,通过横向与纵向的不断比较得出结论；假设是数学中思考问题的一种方法，有些应用题，无论我们是从条件出发用综合法解题，还是从问题出发用分析法去解答，都很难到正确答案，但用合理“假设”，依照已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，进行比较，并做出调整，很容易解决问题;枚举即为逐个探讨各种假设的正确性,进而得出确切的信息;下面将通过例题来学习上述提出的三个规律和三种解决逻辑推理的方法。
【例题精讲】
（一）列表画图法
例1 一次网球邀请赛，来自湖北，广西，江苏，北京，上海的五名运动员相遇在一起，据了解：
（1）王平仅与另外两名运动员比赛过；
（2）上海运动员和另外三名运动员比赛过；
（3）李兵没有和广西运动员比赛过；
（4）江苏运动员和凌华比赛过；
（5）广西，江苏，北京的三名运动员相互之间都比赛过；
（6）赵林仅与一名运动员比赛过。
问：张俊是哪个省市的运动员？
分析：“赵林仅与一名运动员比赛过”，说明赵林只比赛过1场，由（2）、（5）可得知上海、
广西、江苏、北京运动员至少都比赛过2场或以上，赵林只能是湖北运动员；由（3）、（5）知李兵不是广西运动员，也不是江苏、北京运动员，李兵只能是上海运动员；又由（2）、（3）、（6）知，赵林（湖北）与李兵（上海）比赛过，李兵（上海）与赵林（湖北）、江苏、北京运动员比赛过，可以知道王平肯定是广西运动员；由（4）知凌华不是江苏运动员，只能是北京运动员（如下表）；据此采用列表法如下（用“×”表示否定，用“√”表示肯定）：
湖北 | 广西 | 江苏 | 北京 | 上海 | |
王平 | × | × | |||
李兵 | × | × | × | × | √ |
凌华 | × | × | |||
赵林 | √ | × | × | × | × |
张俊 | × | × | |||
【随堂练习】
１．在一个年级里，甲、乙、丙三位老师分别讲授数学、物理、化学、生物、语文、历史，每位老师教两门课.现知道：
（1）化学老师和数学老师住在一起；
（2）甲老师是三位老师中最年轻的；
（3）数学老师和丙老师是一对优秀的国际象棋手；
（4）物理老师比生物老师年长，比乙老师又年轻；
（5）三人中最年长的老师住家比其他二位老师远.
问甲、乙、丙三位老师分别教哪两门课？
２．A、B、C、D四人分别掌握英、法、德、日四种语言中的两种，其中有三人会说英语，但没有一种语言是四人都会的.并且知道：没有人既会日语又会法语.A会日语，而B不会，但他们可以用另一种语言交换.C不会德语，A和D交谈时，需要C为他们做翻译.B、C、D不会同一种语言.请说出四个人分别掌握哪两种语言？(适当应用假设)
例2 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ五个球队进行单循环赛（每两个队之间都要比赛一场），进行到中途，发现Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ比赛过的场次分别是４、３、２、１。问这时Ｅ队赛过几场？Ｅ队和哪几个队赛过？
分析：用平面上的点表示Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ队，两队比赛过，用两点连线表示；没有比赛过，则不连线，据此画出图９－１，其理由如下：
Ａ赛过４场，Ａ与Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ均连线；Ｂ赛过三场，除与Ａ赛过，还赛过２场，因为Ｄ只赛过１场（和Ａ队赛），因此Ｂ只能和Ｃ、Ｄ赛过；这样正好符合Ｃ赛过２场，Ｄ赛过１场。
可以看出这时Ｅ队和Ａ、Ｂ两队赛过。
说明 用图表示所研究对象及其关系，是讨论逻辑问题的另一个重要手段。用点表示所研究的对象，用连线表示对象之间的某种关系。充分利用图形的直观性，便于说明问题。
（二）假设推理法
例3 有四人打桥牌（牌中不含大、小王牌，每人共１３张牌），已知某一人手中的牌如下：
① 红桃、黑桃、方块、梅花四种花的牌都有；
② 各种花的牌，张数不同；
③ 红桃和黑桃合起来共６张；
④ 红桃和方块和起来有５张；
⑤ 有两张主牌（将牌）。
试问这手牌以什么花为主牌？
解 由于主牌不外乎四种花之一，因此可以采用假设法。
先假设红桃为主牌。依题意，红桃为两张，则黑桃为４张，方块为３张。一共有１３张牌，梅花只能为４张，与黑桃张数相同，矛盾。
其次架设方块为主牌。依题意，方块为两张，则红桃为３张，黑桃也为３张，矛盾。
再假设梅花为主牌。因为主牌为两张，所以黑桃、红桃，方块应总共为１１张，但根据条件③、④知，这三种花的总和应少于１１张，又出现矛盾。
所以只能是黑桃为主牌，此时红桃４张，方块１张，梅花６张。
说明 推理的方法很多，如果题目中所涉及的情况只有有限种，我们可以先假设一个前提正确，以此为起点，如果推理导致矛盾，说明假设的前提不正确，再重新提出一个假设，直至得到符合要求的结论为此。这种方法叫做“假设推理法”或“假设淘汰法”。这就是例４所用的方法。
【随堂练习】
1.一天，一位老师让五名学生来分辨五位科学家的画像.老师把画像从1到5编了号，让各个学生说出其中任意两位科学家的名字.
张三说：“2号是牛顿，3号是伽利略.”
李四说：“1号是瓦特，2 号是爱因斯坦.”
王五说：“3号是爱因斯坦，5号是瓦特.”
徐六说：“2号是牛顿，4号是哥白尼.”
陈七说：“4号是哥白尼，1号是伽利略.”
老师听后，发现每人都只说对了一半.试问这几位科学家的画像分别是几号？
2.老师画像 一天，一位老师让五名学生来分辨五位科学家的画像.老师把画像从1到5编了号，让各个学生说出其中任意两位科学家的名字.
张三说：“2号是牛顿，3号是伽利略.”
李四说：“1号是瓦特，2 号是爱因斯坦.”
王五说：“3号是爱因斯坦，5号是瓦特.”
徐六说：“2号是牛顿，4号是哥白尼.”
陈七说：“4号是哥白尼，1号是伽利略.”
老师听后，发现每人都只说对了一半.试问这几位科学家的画像分别是几号？
例4.在一所公寓里有一人被杀害了，在现场共有甲、乙、丙三人。已知这三人中，一个是主犯，一个是从犯，一个与案件无关，警察从现场的人的口中得到下列证词：
① 甲不是主犯；
② 乙不是从犯；
3丙不是与案犯无关的人。
这三条证词中，提到的名字都不是说话者本人，三条证词不一定分别出自三人之口，但至少有一条是与案件无关的人讲的，经过调查证实，只有与案件无关的人说真话，问主犯是谁？
解 由于“证词中提到的名字都不是说话者本人”，因此这三条证词至少出自两人之口。又由“只有与案件无关的人说了实话”，所以这三条证词中至少有一条是与案件 无关的人讲的真话。
下面我们先对“只有一条是与案件无关的人讲的真话”进行假设。
假设①是真，②、③是假话，则甲与丙都是与案件无关的人，或者甲与乙都是从犯，这与已知矛盾。
假设②是真话，①、③是假话，同上面情况类似，仍与已知矛盾。
假设③是真话，①、②是假话，则三人全是罪犯，也与已知矛盾。
这说明三条证词中应有两条是与案件无关的人讲的真话。
假设①是假话，②、③是真话，则②、③应出自与案件无关的人甲之口，但①是假话，又推出甲是主犯，矛盾。
假设②是假话，①、③是真话，其结果与前一假设类似，仍然矛盾。
所以只有③是假话，①、②是真话。此时可知：丙是与案件无关的人，甲是从犯，乙是主犯。
说明 “假设推理法”特别对解决“真假话”问题尤为有效。当然用假设推理法解决问题，不仅限于上面的几种情况，请看下面的例题。
【随堂练习】
1.从前有三个和尚，一个讲真话，一个讲假话，另一个有时讲真话，有时讲假话.一天，一位智者遇到这三个和尚，他问第一位和尚：“你后面是哪位和尚？”和尚回答：“讲真话的.”他又问第二位和尚：“你是哪一位？”得到的回答是：“有时讲真话，有时讲假话.”他问第三位和尚：“你前面的是哪位和尚？”第三位和尚回答说：“讲假话的.”根据他们的回答，智者马上分清了他们各是哪一位和尚.请你说出智者的答案
例5．在一次战役中，甲方俘虏了乙方１００名官兵，一天甲方告知乙方的１００名俘虏：明天会以一种特别的方式释放这１００名俘虏中的一些人，这１００名俘虏将被排成一列，他们的头上将随机的被戴上一顶黑或白的帽子。每个人都只能看见前面所有人的帽子的颜，但不能看到后面及自己头上帽子的颜。
甲方军官将从队伍最后一个人开始逐一询问同样一个问题：“请说出泥头上帽子的颜”，如果回答正确，该俘虏将无条件获得释放，如果回答错误将被终身监禁。当然，每一个俘虏除能看到前面所有人的帽子颜外，他还可以听到后面俘虏所回答的帽子颜（最后一名俘虏除外）。
作为这１００名俘虏的指挥官将设计一个最好的策略告诉他的部下，在明天的“测试”中，使尽可能多的同伴获得释放。
请问：被虏方的指挥官将设计一个什么样的策略，使尽可能多的同伴（俘虏）获得释放，最多能释放多少个俘虏？
分析 １００名俘虏全部被释放是不可能的，因为第一位被询问者，他的全部信息时看到前面９９名俘虏头上帽子的颜，据此，他无法确定他头上帽子的颜。（黑或白）。但从倒数第二人开始，他们所获得的信息比最后一人的信息多了一条，即除能看清前面所有人头上的帽子颜外，还会听到后面同伴所报出的自己头上帽子的颜。如果有一种策略，确保后面同伴所报帽子颜是正确的话，那么，这种策略对该人应能确保它所报自己头上帽子颜的正确性。非常可喜地，聪明的指挥官想出了这样一个“释放”策略，使除最后一人（即
第一个被询问者）外，其余所有的俘虏，运用这个策略，均能准确地推出自己头上帽子颜。这样，除第一个被询问者（即排在排尾的人）外其余的人都能获释：共９９人获释。说来十分奇妙，这个策略只是建立在一个十分简单的互相之间的“约定”之上。
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