皮亚诺公理体系
皮亚诺公理是意大利皮亚诺所构造的算术公理系统中的公理。1889年，在数学家戴德金工作的基础上，皮亚诺在《用一种新方法陈述的算术原理》一书中提出了一个算术公理系统，这个公理系统有九条公理，其中四条是关于“相等”的，五条是刻画数的，并且以1而不是0作为基本概念。在后来的著作中，皮亚诺对这一算术系统作了修改，去除了关于“相等”的四条公理，并且以0取代1作为基本概念，构造了沿用的皮亚诺算术公理系统。
大家是否还记得自己人生中第一堂数学课学的是什么呢？对了！就是掰着手指头数数。我们先学习从1数到10，然后再数到100，聪明的孩子总是数得又快又准。再往后是1000，10000，...，后来我们知道这串数字可以无穷无尽地列下去，于是我们就有了直观中数学的第一个概念——自然数。
自然数是我们再熟悉不过的一个概念了，熟悉到我们以为它们的出现就是天经地义，但是如果问“1”到底是什么？1+1究竟为什么等于2，估计很多人就要低头沉吟一番，然后给出一个稀奇古怪的答案。
数学中的任何一个概念都是需要有严格定义的，不允许有任何含糊不清的成分在里面。在古典数学时期，由于人们所探讨的问题比较原始和简单，因此对概念不加定义地使用，不会带来严重问题。但随着数学研究的深入，胡乱地使用概念便会带来灾难 后果，最著名的例子就是微积分创立初期，由于“无穷小量”这一概念含糊不清，甚至引发了第二次数学危机。可见澄清概念是一件多么重要的事情！
皮亚诺公理(皮亚诺公理体系)
而对于自然数等基础概念的追问，则是要到19世纪末期与20世纪初期。那是一个风云激荡的年代，数学界、物理学界、哲学界都出现了惊天动地的转折。数学家们开始思考：数学的基础究竟是什么？数学证明的本质又是什么？并由此诞生出两大数学基础理论——集合论与数理逻辑。而对自然数概念的严格定义也是在此时出现的。
1889年，意大利数学家皮亚诺(Giuseppe Peano, 1858-1932)，出版了他的代表著作《算术原理新方法》(Arithmetices principia, nova methodo exposita)，书中以另一位德国数学家戴德金(Dedekind, 1831-1916)的工作为基础，首次提出了一套算术公理系统。1901年他创立了《数学杂志》(Rivista di Matematica)，并在该杂志上对之前的算术公理系统进行优
化，最终形成了所谓的“皮亚诺公理”(Peano Axiom)。
皮亚诺公理(皮亚诺公理体系)
皮亚诺
2.皮亚诺公理的具体内容
灯用英语怎么说“皮亚诺公理”就是目前数学界所普遍采用的自然数的定义，它是由若干条公理组成的。简单来说，自然数集的本质是一个满足几条 质的集合，我们并不关心包含的元素具体是什么，只关心这个集合满足的这几条 质。如果一旦满足这几条 质，这个集合就称为自然数集，集合中的每一个元素都称为一个自然数。
炒股炒成股东那么究竟是哪几条 质呢？我们来具体看一下。
对于一个集合A，如果它满足以下几条 质：
1. A里边包含某一个元素，我们记为“1”(或者“0”，这取决于你是否把0看成自然数)；
厚德载福2. 对于A中的每一个元素a，可以在A中到另外一个唯一的元素与之相关联，称为a的“后继”，把它记作"a+"；
3. A中任何一个元素的后继都不是1；
4. A中任何两个不同的元素，后继也不相同；
5. 对于A的一个子集B，如果它满足以下两条 质：第一，1∈B；第二，若x∈B，则x+∈B。那么B就等于A
则称A为一个自然数集
写到这里，估计很多小伙伴就会忍不住点退出了，不要着急！且听我慢慢道来。
上面的东西虽然看起来乱糟糟，但每一条都无非就是一个 质。也就是说如果你到一个集合，它能够满足上面几条 质，这个集合就可以称为一个自然数集。于是就会面临新的问题：真的有集合能够满足上面的所有 质吗？如果有的话，只有一个集合吗？我要到哪里这个种集合呢？
其实这才是本文的重点，我就用我们日常生活中再熟悉不过的做例子，来这样一个集合出来。
皮亚诺公理(皮亚诺公理体系)
3.用来构造自然数
腾讯爸爸把的人数上限设定为500人，这里为了说明问题，我们假设人数没有上限。
假如某一天我躺在床上无聊，想拉一些小伙伴们聊聊天，于是我决定自己建一个。
蝶恋香皮亚诺公理(皮亚诺公理体系)
自然我就是主啦。里不能只有我一个人吧，于是我把我最要好的小伙伴拉了进来。但是两个人也不够呀，为了让人数多起来，我立下一条规：任何一个加的人，都必须拉一个小伙伴进来，否则不允许加入。
好了，立下这条规之后，我的任务就能干完了，只需要躺在床上静静地等这个自己发
展壮大就可以了。
其实，我们已经不知不觉地完成了自然数的构造，这个大就是一个满足上面几条 质的集合！
为什么我敢如此断言呢？只需要逐一检查它是否满足上面的几条 质就可以了。
皮亚诺公理(皮亚诺公理体系)
1. A里边包含某一个元素，我们记为“1”
我是主嘛，所以我肯定在这个里，我就把自己叫成“1”
2. 对于A中的每一个元素a，可以在A中到另外一个唯一的元素与之相关联，称为a的“后继”，把它记作"a+"；
这个是由规保证的。对于里的每一个成员，他进时肯定会拉一个自己的小伙伴进来，这个小伙伴就是他的后继。
3. A中任何一个元素的后继都不是1；
1就是我呀，因为是我建的呀，所以我不是被任何人拉进来的。
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4. A中任何两个不同的元素，后继也不相同；
这一条也是很显然的。里每个人都拉了一个自己的小伙伴进来，当然有可能两个不同的人想拉同一个人进来。比如小张和小明都想拉小红进来，如果后来的小明发现小张已经把小红拉进来了，那么他只好再另外一个人拉进来。所以肯定是不同的两个人拉的小伙伴们也不一样，这一条可以得到满足。
5. 对于A的一个子集B，如果它满足以下两条 质：第一，1∈B；第二，若x∈B，则x+∈B。那么B就等于A。
这一条比较复杂。假如某一天有个成员想偷偷建个小，结果被我知道了。我很不开心：明明是我建的嘛，你却在底下拉帮结派。不过，仁慈的我不是不同意，但是有条件：你建小可以，但是，第一得把我拉进去，第二你也得立一条规，有谁想进你这个小，就必须把自己在大的小伙伴拉进来。
第五条 质虽然比较复杂，但它是我们在高中学过的数学归纳法的基础。
可爱头像动物经过这样一番操作，你会发现，这个小和原来的大明明就是一样的呀。对喽！这说明第5条 质得到了满足。
好了，到此为止5条 质全部检验完毕！我真的到了这样一个集合。那么它就可以看成是一个自然数集，包含的元素是：我，我的小伙伴，我的小伙伴的小伙伴，我的小伙伴的小伙伴的小伙伴，...，妈耶，嘴皮子都不利索了。那干脆，因为我叫1，那我就把我的小伙伴叫为2，我的小伙伴的小伙伴叫为3，...，这不就是我们熟悉的自然数吗。