例题示范
例1:已知:如图,点E是直线AB,CD外一点,连接DE交AB于点F,∠D=∠B+∠E.
求证:AB∥CD.
①读题标注
②梳理思路
因为已知∠D=∠B+∠E,而由外角定理得∠AFE=∠B+∠E,故∠D=∠AFE,所以AB∥CD.
③过程书写
证明:如图,
∵∠AFE是△BEF的一个外角(外角的定义)
∴∠AFE=∠B+∠E(三角形的外角等于与它不相邻的两个内
角的和)
∵∠D=∠B+∠E(已知)
∴∠AFE=∠D(等量代换)
巩固练习
1.如图,在△ABC中,∠1是它的一个外角,∠1=115°,∠A=40°,∠D=35°,则∠2=________.
2.已知:如图,在△ABC中,∠BAC=50°,∠C=60°,AD⊥BC,BE是∠ABC的平分线,AD,BE交于点F,则∠AFB的度数为____________.
第2题图 第3题图
3.将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起,则图中∠三角形的内角α的度数为( )
A.45° B.60° C.75° D.90
4.如图,已知∠A=25°,∠EFB=95°,∠B=40°,则∠D的度数为_____________.
第4题图 第5题图
5.如图,已知AD是△ABC的外角∠CAE的平分线,∠B=30°,∠DAE=50°,则∠D=_______,∠ACB=_______.
6.如图,在△ABC中,∠A=40°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,∠BDC=70°,求∠C的度数.
解:如图,
∵∠BDC是△ABD的一个外角 (_____________________)
∴∠BDC=∠A+∠ABD (_____________________)
∵∠A=40°,∠BDC=70° (_____________________)
∴∠ABD=_______-________
=________-________
=________ (_____________________)
∵BD平分∠ABC (_____________________)
∴∠ABC=2∠ABD
=_____×______
=__________ (_____________________)
∴∠C=180°-∠A-∠ABC
=180°-________-_______
=________ (_____________________)
7.已知:如图,CE是△ABC的一个外角平分线,且EF∥BC交AB于点F,∠A=60°,∠E=55°,求∠B的度数.
8.已知:如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D,DE∥BC交AB于点E,∠A=45°,∠BDC=60°,求∠AED的度数.
思考小结
1.在证明过程中:
(1)要证平行,_______角、_______角、_______角.
(2)要求一个角的度数:
①由平行,想_______相等、________相等、__________互补;
②由直角考虑互余,由平角考虑_______,由对顶角考虑
____________;
③若把一个角看作三角形的内角,考虑__________________
_____________;
④若把一个角看作三角形的外角,考虑__________________
________________________.
2.阅读材料
欧几里得公理体系
几何学创建的初期,内容是繁杂和混乱的.人们进行几何推理时,总是拿自己掌握的一些“基本事实”作为大前提去进行推理,而每个人心中的“基本事实”不尽相同.这就导致很多内容无法沟通,也没有统一的标准.这时,有必要将几何的内容,用逻辑的“锁链”整理、穿连起来.第一个完成这件工作的是古希腊数学家欧几里得(Euclid).
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