《神奇的莫比乌斯圈》教学反思
摘要：让学生动手操作经历探索、认识莫比乌斯带的过程，积累数学活动经验。在数学活动中经历猜想与探索的过程感受“莫比乌斯带”魔术般的神奇变化感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发学生学习数学的兴趣。
关键词：莫比乌斯；实践；教学反思
本节课是北师大版六年级下册《数学好玩》中的一节实践课，莫比乌斯带对于学生来说比较生疏，既新颖又不太好理解。它不同于其他的数学活动课，本节课首先通过长方形纸条的魔术引入，激发学生对纸条的神奇之处产生学习兴趣，然后通过四个活动的实践，在动手操作、对比探索中认识“莫比乌斯带”，学会将长方形制成莫比乌斯带，初步体会莫比乌斯带的神奇。
1 课堂实录
1.1魔术引入，激发兴趣
师：今天老师给大家带来一个关于纸条的魔术，一张普通的长方形纸条和两个回形针，通过拉动纸条······这个神奇的纸条让两个分离的回形针手拉手，这个纸条还有哪些神奇之处呢？
关键词：莫比乌斯；实践；教学反思
本节课是北师大版六年级下册《数学好玩》中的一节实践课，莫比乌斯带对于学生来说比较生疏，既新颖又不太好理解。它不同于其他的数学活动课，本节课首先通过长方形纸条的魔术引入，激发学生对纸条的神奇之处产生学习兴趣，然后通过四个活动的实践，在动手操作、对比探索中认识“莫比乌斯带”，学会将长方形制成莫比乌斯带，初步体会莫比乌斯带的神奇。
1 课堂实录
1.1魔术引入，激发兴趣
师：今天老师给大家带来一个关于纸条的魔术，一张普通的长方形纸条和两个回形针，通过拉动纸条······这个神奇的纸条让两个分离的回形针手拉手，这个纸条还有哪些神奇之处呢？
今天我们就一起来研究研究吧？（板书：神奇的）
生：感叹！真神奇
设计意图：利用魔术激发学习兴趣，感受这张普通的纸条变得很神奇，勾起学生继续探索纸条的神奇之处。
1.2动手实践，探索新知
师：有一只很饿很饿的蚂蚁四处寻吃的，在它坚持不懈的努力下，终于在这个纸环的内侧发现了一点面包屑，但是蚂蚁却在纸环的外面，蚂蚁能吃到面包屑吗？
生：能，把纸条打一个洞
生：爬过去就可以吃到了
师：抓住契机，马上出示：“前提条件：在不改变面包屑的位置，蚂蚁也不能翻越纸环边缘的条件下吃到面包屑，能做到吗？动手试一试”
生：不能
生：能，改变纸条的方向。
师：出示活动（一）做一个神奇的纸环，
要求：（时间：3分钟）
生：感叹！真神奇
设计意图：利用魔术激发学习兴趣，感受这张普通的纸条变得很神奇，勾起学生继续探索纸条的神奇之处。
1.2动手实践，探索新知
师：有一只很饿很饿的蚂蚁四处寻吃的，在它坚持不懈的努力下，终于在这个纸环的内侧发现了一点面包屑，但是蚂蚁却在纸环的外面，蚂蚁能吃到面包屑吗？
生：能，把纸条打一个洞
生：爬过去就可以吃到了
师：抓住契机，马上出示：“前提条件：在不改变面包屑的位置，蚂蚁也不能翻越纸环边缘的条件下吃到面包屑，能做到吗？动手试一试”
生：不能
生：能，改变纸条的方向。
师：出示活动（一）做一个神奇的纸环，
要求：（时间：3分钟）
取长方形纸条2张
‚一个制作成普通纸环，一个制成神奇纸环（扭180°后粘合）
ƒ用笔分别在两种纸环上画一圈（从A点开始回到A点）。
„思考：通过画一画，你发现了什么?
在第‚个要求，制作环节，师先示范，如何扭，学生观察学习，3分钟时间让学生自己动手操作。板书：做（扭、粘）
师：动手完毕，请将你的发现告诉你的同桌，看你们的发现是否一样？
生：我发现普通纸环蚂蚁不能吃到面包，而神奇纸环蚂蚁可以吃到。
师：再次追问，你们的发现和他一样吗？
生：一样
通过画一画，我们发现了普通纸环，蚂蚁不能吃到面包屑，而神奇纸环蚂蚁能吃到面包屑，那么究竟是为什么呢？我们通过给纸环涂来继续研究。
师：出示活动（二）涂纸环
要求：（时间：5分钟）
取长方形纸条2张
‚一个制作成普通纸环，一个制成神奇纸环（扭180°后粘合）
ƒ用笔分别在两种纸环上画一圈（从A点开始回到A点）。
„思考：通过画一画，你发现了什么?
在第‚个要求，制作环节，师先示范，如何扭，学生观察学习，3分钟时间让学生自己动手操作。板书：做（扭、粘）
师：动手完毕，请将你的发现告诉你的同桌，看你们的发现是否一样？
生：我发现普通纸环蚂蚁不能吃到面包，而神奇纸环蚂蚁可以吃到。
师：再次追问，你们的发现和他一样吗？
生：一样
通过画一画，我们发现了普通纸环，蚂蚁不能吃到面包屑，而神奇纸环蚂蚁能吃到面包屑，那么究竟是为什么呢？我们通过给纸环涂来继续研究。
师：出示活动（二）涂纸环
要求：（时间：5分钟）
取长方形纸条2张
‚一个制作成普通纸环，一个制成神奇纸环（扭180°后粘合）
ƒ用彩笔分别在两种纸环上涂一涂（从A点开始回到A点）。
„思考：通过涂一涂，你发现了什么?
在第ƒ个要求，师先示范怎么涂，将粉笔横着在纸上拉动，就涂了薄薄一层颜，5分钟时间让学生动手操作。板书：涂
师：请将你的发现分享给你的同桌。
师：你们有什么发现？
生：我发现了普通纸环只涂了一个面，还有一个面没有涂到，而神奇纸环涂一次全部都涂完了。
师追问：说明了什么？
生：说明了普通纸环有两个面，神奇纸环只有一个面。
师：你们的发现和他一样吗？
生：一样
师：那它们的边有什么不一样呢？
生思考，答：普通纸环有两条边，神奇纸环有1条边
ƒ用彩笔分别在两种纸环上涂一涂（从A点开始回到A点）。
„思考：通过涂一涂，你发现了什么?
在第ƒ个要求，师先示范怎么涂，将粉笔横着在纸上拉动，就涂了薄薄一层颜，5分钟时间让学生动手操作。板书：涂
师：请将你的发现分享给你的同桌。
师：你们有什么发现？
生：我发现了普通纸环只涂了一个面，还有一个面没有涂到，而神奇纸环涂一次全部都涂完了。
师追问：说明了什么？
生：说明了普通纸环有两个面，神奇纸环只有一个面。
师：你们的发现和他一样吗？
生：一样
师：那它们的边有什么不一样呢？
生思考，答：普通纸环有两条边，神奇纸环有1条边
师：是这样吗？神奇纸环只有一条边，我们一起来验证，请在纸环边缘处用笔做个记号，然后用手摸一摸，从这点出发看能不能走完最后回到这点。
生开始动手摸一摸。
师：我们探究发现了它们的特征：普通纸环有2个面2条边，而神奇纸环只有1个面1条边。
师：如果改变面包屑的位置，蚂蚁还能吃到面包吗？
生：能
师：为什么呢？
生：因为只有一个面，所以不管面包屑在哪个位置，蚂蚁都能吃到。
师肯定，说的很好。
神奇纸环除了只有一个面一条边以外，它还有更多神奇的地方呢？大家想知道吗？那我们接下来就用“剪”的方法来研究好吗？
设计意图：通过做纸环，画一画等活动，比较普通纸环和神奇纸环的不同，再通过给纸环涂，探索神奇纸环的特征，并与普通纸环做比较，通过画和涂，让大家理解为什么蚂蚁在神奇纸环上能吃到面包，培养学生类比的数学思想，初步感受神奇纸环的神奇之处，激发
生开始动手摸一摸。
师：我们探究发现了它们的特征：普通纸环有2个面2条边，而神奇纸环只有1个面1条边。
师：如果改变面包屑的位置，蚂蚁还能吃到面包吗？
生：能
师：为什么呢？
生：因为只有一个面，所以不管面包屑在哪个位置，蚂蚁都能吃到。
师肯定，说的很好。
神奇纸环除了只有一个面一条边以外，它还有更多神奇的地方呢？大家想知道吗？那我们接下来就用“剪”的方法来研究好吗？
设计意图：通过做纸环，画一画等活动，比较普通纸环和神奇纸环的不同，再通过给纸环涂，探索神奇纸环的特征，并与普通纸环做比较，通过画和涂，让大家理解为什么蚂蚁在神奇纸环上能吃到面包，培养学生类比的数学思想，初步感受神奇纸环的神奇之处，激发
学生动手操作的欲望。
1.3循序渐进，学生自主探究
师：出示活动（三）剪纸环
要求：（时间：4分钟）
取2等分的长方形纸条2张
‚一个制作成普通纸环，一个制成神奇纸环（扭180°后粘合）
ƒ用剪刀沿着纸条上的虚线剪开。
„思考：通过剪一剪，你发现了什么?
师演示剪纸环的步骤，先将做好的纸环对折压扁，用剪刀剪一个口子，然后将剪刀的一段穿过口子，开始继续往下剪……板书：剪
明白要求后，学生开始剪，师巡视。（4分钟）
师：你发现了什么？
生1： 我发现普通纸环剪开成两个纸环，而神奇纸环剪开是一个大环。
生2：我发现普通纸环剪开成两个纸环，而神奇纸环剪开是一个大的神奇纸环。
师抓住契机，神奇纸环剪开还神奇吗？我们动手来验证一下，用笔在纸环的一面上画一
1.3循序渐进，学生自主探究
师：出示活动（三）剪纸环
要求：（时间：4分钟）
取2等分的长方形纸条2张
‚一个制作成普通纸环，一个制成神奇纸环（扭180°后粘合）
ƒ用剪刀沿着纸条上的虚线剪开。
„思考：通过剪一剪，你发现了什么?
师演示剪纸环的步骤，先将做好的纸环对折压扁，用剪刀剪一个口子，然后将剪刀的一段穿过口子，开始继续往下剪……板书：剪
明白要求后，学生开始剪，师巡视。（4分钟）
师：你发现了什么？
生1： 我发现普通纸环剪开成两个纸环，而神奇纸环剪开是一个大环。
生2：我发现普通纸环剪开成两个纸环，而神奇纸环剪开是一个大的神奇纸环。
师抓住契机，神奇纸环剪开还神奇吗？我们动手来验证一下，用笔在纸环的一面上画一
个三角形，从这点出发描一描，你有什么发现？
生1：只有一面有线条，麦比乌斯圈
生2：还有一面没有描到
生3：说明它就是一个普通纸环了
师：我们将神奇纸环2等分后得到的纸环不再是神奇纸环了，如果将神奇纸环沿3等分、4等分线剪开，又会是怎样呢？我们先来猜一猜。
师：出示活动（四）猜一猜？
如果将神奇纸环沿3等分、4等分剪开，要剪几次？剪的结果会是怎样呢？
生1： 3等分要剪2次，4等分要剪3次，剪出来都是两个普通圈
生2：都剪2次，3等分剪出来是一个大的，4等分剪出来是3个大的，都是普通圈
……
师：记住你们的猜想，接下来我们一起来验证
出示验证猜想，自选一张纸条3等分或者4等分的纸条，先将它制作成神奇纸环，
沿着虚线剪下去······
师：说明3等分有2条虚线，4等分有3条虚线，思考从哪条虚线开始剪，剪得结果有什
生1：只有一面有线条，麦比乌斯圈
生2：还有一面没有描到
生3：说明它就是一个普通纸环了
师：我们将神奇纸环2等分后得到的纸环不再是神奇纸环了，如果将神奇纸环沿3等分、4等分线剪开，又会是怎样呢？我们先来猜一猜。
师：出示活动（四）猜一猜？
如果将神奇纸环沿3等分、4等分剪开，要剪几次？剪的结果会是怎样呢？
生1： 3等分要剪2次，4等分要剪3次，剪出来都是两个普通圈
生2：都剪2次，3等分剪出来是一个大的，4等分剪出来是3个大的，都是普通圈
……
师：记住你们的猜想，接下来我们一起来验证
出示验证猜想，自选一张纸条3等分或者4等分的纸条，先将它制作成神奇纸环，
沿着虚线剪下去······
师：说明3等分有2条虚线，4等分有3条虚线，思考从哪条虚线开始剪，剪得结果有什
么不同？
3分钟时间动手操作，验证猜想。
师：3等分你剪了几次？
生：1次
师：3等分的同学将你们的结果举起来，结果和你的猜想一样吗？
生1：不一样，3等分剪开是一大一小套在一起，
生2：其中大的是普通圈，小的是神奇圈。
师：是这样吗？你们都验证过了吗？
生：验证过了，是这样的。
师：3等分从哪条线开始剪的？结果有什么不同吗？
生：都一样，不管哪条线开始剪都是一样的结果。
师：4等分你剪了几次？4等分的同学将你们的结果举起来，结果和你的猜想一样吗？
生1：2次，不一样，4等分剪开是两个大圈套在一起。
生2：但这两个大圈不是神奇的圈。
师：你们验证过了吗？是这样吗？
3分钟时间动手操作，验证猜想。
师：3等分你剪了几次？
生：1次
师：3等分的同学将你们的结果举起来，结果和你的猜想一样吗？
生1：不一样，3等分剪开是一大一小套在一起，
生2：其中大的是普通圈，小的是神奇圈。
师：是这样吗？你们都验证过了吗？
生：验证过了，是这样的。
师：3等分从哪条线开始剪的？结果有什么不同吗？
生：都一样，不管哪条线开始剪都是一样的结果。
师：4等分你剪了几次？4等分的同学将你们的结果举起来，结果和你的猜想一样吗？
生1：2次，不一样，4等分剪开是两个大圈套在一起。
生2：但这两个大圈不是神奇的圈。
师：你们验证过了吗？是这样吗？
生：是的
师：那4等分喃？
生1：我是从中间开始剪的，第一刀相当于把一个纸环二等分，第二刀是把二等分再二等分，就变成两个大圈套在一起了。
生2：我是从最边上开始剪的，第一刀相当于把神奇纸环三等分剪开，第二刀再把小圈二等分剪开，得到两个大圈套在一起。
生3：所以这样剪下来两个大圈不再是神奇的纸环了。
师：那么什么是神奇的纸环呢？
生：（齐说）只有一个面一条的纸环。
师：小结，只有一个面和一条边的纸环也有一个名字，它叫莫比乌斯带，也叫莫比乌斯圈。（板书：莫比乌斯圈）
设计意图：通过剪纸环继续探索莫比乌斯带的神奇之处，也利用和普通纸环作比较，感受它神奇之处，并沿二等分、三等分、四等分线剪开继续探索剪开后的纸环还是莫比乌斯带吗？动手操作充分调动学生参与探索莫比乌斯带的神奇之处的积极性，为学生自主探究提供了广阔的契机，同时通过生生之间的交流分享，培养孩子们猜测、感知、验证、分析、概括
师：那4等分喃？
生1：我是从中间开始剪的，第一刀相当于把一个纸环二等分，第二刀是把二等分再二等分，就变成两个大圈套在一起了。
生2：我是从最边上开始剪的，第一刀相当于把神奇纸环三等分剪开，第二刀再把小圈二等分剪开，得到两个大圈套在一起。
生3：所以这样剪下来两个大圈不再是神奇的纸环了。
师：那么什么是神奇的纸环呢？
生：（齐说）只有一个面一条的纸环。
师：小结，只有一个面和一条边的纸环也有一个名字，它叫莫比乌斯带，也叫莫比乌斯圈。（板书：莫比乌斯圈）
设计意图：通过剪纸环继续探索莫比乌斯带的神奇之处，也利用和普通纸环作比较，感受它神奇之处，并沿二等分、三等分、四等分线剪开继续探索剪开后的纸环还是莫比乌斯带吗？动手操作充分调动学生参与探索莫比乌斯带的神奇之处的积极性，为学生自主探究提供了广阔的契机，同时通过生生之间的交流分享，培养孩子们猜测、感知、验证、分析、概括
的能力。
2.由课到生活中
师：其实我们的生活中也有许多莫比乌斯圈的存在，我们一起来看看生活中还有哪些地方用到它？
观看微课介绍：
莫比乌斯带的由来、莫比乌斯爬梯、过山车的轨道、打印机的带、传输带、传带、可回收物标志、中国科技馆的三叶扭结雕塑、2010年上海世博会湖南馆、2007年夏季特奥会会标、哈萨克斯坦新国家图书馆。
设计意图：通过微课的介绍，让学生了解到我们一直研究的一个面一条边的纸环叫作莫比乌斯带，并且在生活中广泛的应用，将知识回归现实，拓展学生的知识面，使学生真真切切地感受数学来源于生活，存在于生活，应用于生活，数学就在我们身边，感受数学的无穷魅力。
3.小结
师：莫比乌斯带在我们生活中的应用可多了，今天我们将莫比乌斯带进行了研究，为什么莫比乌斯带沿二等分、三等分（大圈）、四等分剪开之后不再是莫比乌斯带了呢？其实和
2.由课到生活中
师：其实我们的生活中也有许多莫比乌斯圈的存在，我们一起来看看生活中还有哪些地方用到它？
观看微课介绍：
莫比乌斯带的由来、莫比乌斯爬梯、过山车的轨道、打印机的带、传输带、传带、可回收物标志、中国科技馆的三叶扭结雕塑、2010年上海世博会湖南馆、2007年夏季特奥会会标、哈萨克斯坦新国家图书馆。
设计意图：通过微课的介绍，让学生了解到我们一直研究的一个面一条边的纸环叫作莫比乌斯带，并且在生活中广泛的应用，将知识回归现实，拓展学生的知识面，使学生真真切切地感受数学来源于生活，存在于生活，应用于生活，数学就在我们身边，感受数学的无穷魅力。
3.小结
师：莫比乌斯带在我们生活中的应用可多了，今天我们将莫比乌斯带进行了研究，为什么莫比乌斯带沿二等分、三等分（大圈）、四等分剪开之后不再是莫比乌斯带了呢？其实和
我们扭的角度有关，在你们以后进入更高的学府学习的拓扑学就知道了，那么我们将纸条扭360度会是怎样呢？或者我们继续沿五等分线、六等分线……继续剪下去又会是怎样呢？下来可以自己研究研究。
设计意图：数学好玩，在意犹未尽中结束了这节课，但学生的思考和探索却没有止步，而是向更深处延伸。
板书设计：
本节课是动手实践课，又区别于其他的活动课，这节课的主线是纸条，首先利用纸条给孩子们变了一个魔术，让学生对普通纸条具有的神奇产生兴趣。通过一只小蚂蚁发现了一点点面包屑，但由于空间的隔断，没办法吃到面包屑引发的一场“改变”。本课的教学重点是利用动手实践体会“莫比乌斯带”的特点，发现莫比乌斯带的奇异性质。
让普通纸环和神奇纸环通过做、描、涂、剪等活动进行对比，发现了神奇纸环的特征只有一个面一条边，培养了学生自主探索能力及动手实践能力，再经历猜测、探索、验证等活动，通过进一步深入研究神奇纸环二等分、三等分、四等分剪开后是否还是神奇纸环，学生一一通过“描”验证。介绍这样只有一个面一条边的神奇纸环就是莫比乌斯带，并且在生活中
设计意图：数学好玩，在意犹未尽中结束了这节课，但学生的思考和探索却没有止步，而是向更深处延伸。
板书设计：
本节课是动手实践课，又区别于其他的活动课，这节课的主线是纸条，首先利用纸条给孩子们变了一个魔术，让学生对普通纸条具有的神奇产生兴趣。通过一只小蚂蚁发现了一点点面包屑，但由于空间的隔断，没办法吃到面包屑引发的一场“改变”。本课的教学重点是利用动手实践体会“莫比乌斯带”的特点，发现莫比乌斯带的奇异性质。
让普通纸环和神奇纸环通过做、描、涂、剪等活动进行对比，发现了神奇纸环的特征只有一个面一条边，培养了学生自主探索能力及动手实践能力，再经历猜测、探索、验证等活动，通过进一步深入研究神奇纸环二等分、三等分、四等分剪开后是否还是神奇纸环，学生一一通过“描”验证。介绍这样只有一个面一条边的神奇纸环就是莫比乌斯带，并且在生活中
有广泛的应用，数学来源于生活，同样要回归到生活中，让学生感受到数学真真切切地在我们身边。
本节课来看，较好地完成了教学目标，学生在动手实践中感受了莫比乌斯圈的无穷魅力，每一个活动的环节都较好地衔接显得顺其自然，特别是在活动四，我花了较多的时间，让学生先想一想、然后猜一猜、最后验证猜想，不只让学生动手操作，还要让学生动脑想，有效地培养了学生的空间想象力，“大胆猜想、操作求证”让学生养成勤于反思的习惯。但本节课还是有不足之处，教学语言和教学机制还存在不足，虽然我们探索了二等分、三等分、四等分，也深入研究了剪开后的纸环还是不是莫比乌斯纸环，但在三等分和四等分时，是让学生自选其中的一种进行探索，如果时间允许的情况下，应该让每一个孩子都动手探索，自己总结发现，在今后教学中的教学安排上还要做到更加的合理和完善。
参考文献：
[1] 王宪：《魔带的世界—莫比乌斯圈的秘密》，湖南科学技术.出版社，2009.
[2] 易南轩：《数学美拾趣》，北京.科学出版社，2008.
[3]徐利治：《数学方法论选讲》，华中理工大学出版社，1983.
本节课来看，较好地完成了教学目标，学生在动手实践中感受了莫比乌斯圈的无穷魅力，每一个活动的环节都较好地衔接显得顺其自然，特别是在活动四，我花了较多的时间，让学生先想一想、然后猜一猜、最后验证猜想，不只让学生动手操作，还要让学生动脑想，有效地培养了学生的空间想象力，“大胆猜想、操作求证”让学生养成勤于反思的习惯。但本节课还是有不足之处，教学语言和教学机制还存在不足，虽然我们探索了二等分、三等分、四等分，也深入研究了剪开后的纸环还是不是莫比乌斯纸环，但在三等分和四等分时，是让学生自选其中的一种进行探索，如果时间允许的情况下，应该让每一个孩子都动手探索，自己总结发现，在今后教学中的教学安排上还要做到更加的合理和完善。
参考文献：
[1] 王宪：《魔带的世界—莫比乌斯圈的秘密》，湖南科学技术.出版社，2009.
[2] 易南轩：《数学美拾趣》，北京.科学出版社，2008.
[3]徐利治：《数学方法论选讲》，华中理工大学出版社，1983.
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