2021考研数学三考试历年真题及答案详解
一、选择题(本题共10小题,每小题5分,共50分。每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求,把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上)
1.当x→0时,是x7的()。
A.低阶无穷小
B.等价无穷小
C.高阶无穷小
D.同阶但非等价无穷小
【答案】
C
【考点】
常用等价无穷小;
【解析】
因为当x→0时,,所以
是x7的高阶无穷小,故选C项。
2.函数,在x=0处()。
A.连续且取极大值
B.连续且取极小值
C.可导且导数为0
D.可导且导数不为0
【答案】
D
【考点】
连续和可导的定义;
【解析】
因为
故f(x)在x=0处连续。因为
即f′(0)=1/2,
故选D项。
3.设函数f(x)=ax-blnx(a>0)有2个零点,则b/a的取值范围为()。A.(e,+∞)
B.(0,e)
C.(0,1/e)
D.(1/e,+∞)
【答案】
A
【考点】
函数单调性及极值;
【解析】
函数求导得f′(x)=a-b/x,令f′(x)=0,则有驻点x=b/a,得
在区间(b/a,+∞)上,f′(x)>0,f(x)单增;在区间(-∞,b/a)上,f′(x)<0,f(x)单减。
即f(b/a)为函数f(x)的极小值,若f(x)有2个零点,则f(b/a)=a·b/a -bln(b/a)<0,从而ln(b/a)>1,可得b/a>e,故选A项。
4.设函数f(x,y)可微,且f(x+1,ex)=x(x+1)2,f(x,x2)=2x2lnx,则df(1,1)=()。
A.dx+dy
B.dx-dy
C.dy
D.-dy
【答案】
C
【考点】
多元函数可微;
【解析】
记∂f/∂x=f1′,记∂f/∂y=f2′,则题给两式对x求导得
分别代入(1)(2)式有
联立可得f1′(1,1)=0,f2′(1,1)=1,df(1,1)=f1′(1,1)dx+f2′(1,1)dy=dy,故选C项。
5.二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2的正惯性指数和负惯性指数依次为()。
A.2,0
B.1,1
C.2,1
D.1,2
【答案】
B
【考点】
二次型的特征值;
【解析】
f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2=2x22+2x1x2+2x2x3+2x3x1
所以
故特征多项式为
令上式等于0,故特征值为-1,3,0,故该二次型的正惯性指数为1,负惯性指数为1,选B项。
6.设A(→α1,→α2,→α3,→α4)为四阶正交矩阵,若矩阵,考研时间2021考试时间
k表示任意常数,则线性方程组Bx=→β的通解x=()。
A.→α2+→α3+→α4+k→α1
B.→α1+→α3+→α4+k→α2
C.→α1+→α2+→α4+k→α3
D.→α1+→α2+→α3+k→α4
【答案】
D
【考点】
线性方程组的通解;
【解析】
因为A(→α1,→α2,→α3,→α4)为四阶正交矩阵,所以向量组→α1,→α2,→α3,→α4是一组标准正交向量组,则r(B)=3,又
所以齐次线性方程组Bx=0的通解是k→α4。而
故线性方程组Bx=→β的通解x=→α1+→α2+→α3+k→α4,其中k为任意常数。
7.已知矩阵,若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q,使PAQ为对角矩阵,则P,Q可以分别取()。
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【考点】
对角矩阵的求解;
【解析】
由增广矩阵得