2021考研数学三考试历年真题及答案详解
一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上）
1.当x→0时，是x7的（）。
A．低阶无穷小
B．等价无穷小
C．高阶无穷小
D．同阶但非等价无穷小
【答案】
C
【考点】
常用等价无穷小；
【解析】
因为当x→0时，，所以
是x7的高阶无穷小，故选C项。
2.函数，在x＝0处（）。
A．连续且取极大值
B．连续且取极小值
C．可导且导数为0
D．可导且导数不为0
【答案】
D
【考点】
连续和可导的定义；
【解析】
因为
故f（x）在x＝0处连续。因为
即f′（0）＝1/2，
故选D项。
3.设函数f（x）＝ax－blnx（a＞0）有2个零点，则b/a的取值范围为（）。A．（e，＋∞）
B．（0，e）
C．（0，1/e）
D．（1/e，＋∞）
【答案】
A
【考点】
函数单调性及极值；
【解析】
函数求导得f′（x）＝a－b/x，令f′（x）＝0，则有驻点x＝b/a，得
在区间（b/a，＋∞）上，f′（x）＞0，f（x）单增；在区间（－∞，b/a）上，f′（x）＜0，f（x）单减。
即f（b/a）为函数f（x）的极小值，若f（x）有2个零点，则f（b/a）＝a·b/a －bln（b/a）＜0，从而ln（b/a）＞1，可得b/a＞e，故选A项。
4.设函数f（x，y）可微，且f（x＋1，ex）＝x（x＋1）2，f（x，x2）＝2x2lnx，则df（1，1）＝（）。
A．dx＋dy
B．dx－dy
C．dy
D．－dy
【答案】
C
【考点】
多元函数可微；
【解析】
记∂f/∂x＝f1′，记∂f/∂y＝f2′，则题给两式对x求导得
将
分别代入（1）（2）式有
联立可得f1′（1，1）＝0，f2′（1，1）＝1，df（1，1）＝f1′（1，1）dx＋f2′（1，1）dy＝dy，故选C项。
5.二次型f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x2＋x3）2－（x3－x1）2的正惯性指数和负惯性指数依次为（）。
A．2，0
B．1，1
C．2，1
D．1，2
【答案】
B
【考点】
二次型的特征值；
【解析】
f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x2＋x3）2－（x3－x1）2＝2x22＋2x1x2＋2x2x3＋2x3x1
所以
故特征多项式为
令上式等于0，故特征值为－1，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1，选B项。
k表示任意常数，则线性方程组Bx＝→β的通解x＝（）。
A．→α2＋→α3＋→α4＋k→α1
B．→α1＋→α3＋→α4＋k→α2
C．→α1＋→α2＋→α4＋k→α3
D．→α1＋→α2＋→α3＋k→α4
【答案】
D
【考点】
线性方程组的通解；
【解析】
因为A（→α1，→α2，→α3，→α4）为四阶正交矩阵，所以向量组→α1，→α2，→α3，→α4是一组标准正交向量组，则r（B）＝3，又
所以齐次线性方程组Bx＝0的通解是k→α4。而
故线性方程组Bx＝→β的通解x＝→α1＋→α2＋→α3＋k→α4，其中k为任意常数。
7.已知矩阵，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使PAQ为对角矩阵，则P，Q可以分别取（）。
A．
B．
C．
D．
【答案】
C
【考点】
对角矩阵的求解；
【解析】
由增广矩阵得
则
又
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