2021年考研数学二真题与解析（解答题部分）
（源于思考研数学店铺）
1. 当0x →时，(
)
23
1x t e dt -⎰
是7x 的（  ）
A. 低阶无穷小
B.等价无穷小
C.高阶无穷小
D.同阶但非等价无穷小 解：C
求导定阶法：当0x →时，()()
2
36
70121
2x t x e dt x e x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
⎰，说明
(
)
2
3
1x t e dt -⎰
是x 的8阶无穷小，故是7x 的高阶无穷小量。
2. 函数1
,0,()1,0
x e x f x x x ⎧-≠⎪
=⎨⎪=⎩在0x =处（  ）
A. 连续且取极大值考研时间2021考试时间
B.连续且取极小值
C.可导且导数为0
D.可导且导数不为零 解：D
导数定义式：001
1
()11
(0)lim
lim .2
x x x e f x x f x x →→---'===从而选D 。由于在0处可导，如果它是极值点的话，那么导数应该为零，从而可知，该点处不取极值。
3. 有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s ，-3cm/s ，当底面半径为10cm ，高为5cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（  ）
A. 12532/,40/cm s cm s ππ
B. 32125/,40/cm s cm s ππ-
C.32100/,40/cm s cm s ππ-
D. 32100/,40/cm s cm s ππ--
解：C
相对变化率：圆柱体体积：
22,
2dV dR dH
V R H R H R dt dt dt
πππ==+ 代入：210,5,
2,3,2102510(3)100.dR dH R H dt dt
dV
dt
πππ=====⋅⋅⋅+⋅⋅-=-得
圆柱的表面积：
222,
422dS dR dH dR S R RH R R H dt dt dt dt
πππππ=+=++
代入：10,5,
2,3,4102210(3)25240.dR dH
R H dt dt
dS
dt
ππππ=====⋅⋅+⋅⋅-+⋅⋅=得
4.设函数()ln (0)f x ax b x a =->有两个零点，则b
a
的取值范围是：（  ）
A.(),e +∞
B.()0,e
C.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D.1,e
⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
解：A 。
零点个数问题：()(0),b ax b
f x a a x x
-'=-
=>于是： 当0b ≤时，函数单调递增，最多只有一个零点。由题意，0b >。此时，
函数在(0,)(,)b b
a a +∞单调递减，在单调递增，因为： (00),()ln ,()
b b
f f b b f a a
+=+∞=-+∞=+∞
函数有两个零点，则必有()ln 0b b f b b a a =-<，因此.b
e a
>
5.设sec x 在0处的2次泰勒多项式为21ax bx ++，则（  ）
A.11,2a b ==-
B. 11,2a b ==
C.10,2a b ==-
D.1
0,2
a b ==
解：D
泰勒多项式：()()00sec sec tan 0x x x x x =='==，
()()()23000sec sec tan sec tan sec 1x x x x x x x x x ==='''==+=
根据函数在0处的2次泰勒多项式：2
(0)(0)(0)2!
f f f x x '''++可知sec x 在0处的2次泰勒多项式为2
11.2
x +
6.设函数(,)f x y 可微，且222(1,)(1),(,)2ln ,x f x e x x f x x x x +=+=则
(1,1)df =（    ）
A. dx dy +
B.dx dy -
C.dy
D.dy - 解：C
抽象二元复合函数的偏导数与二元函数的全微分： 将第一个式子两边对x 求导有：
2122212(1,)(1,)(1)2(1),(,)2(,)4ln 2,
x x x f x e e f x e x x x f x x xf x x x x x ''+++=+++''+=+
上面第一个式子代入0x =，第二个式子代入1x =，得：            1212(1,1)(1,1)1,(1,1)2(1,1)2,
f f f f ''+=''+=
于是12(1,1)0,(1,1)1,f f ''==因此(1,1).df dy =
7.设函数()f x 在区间[]0,1上连续，则1
0()f x dx =⎰（  ）
A. 1211lim ()22n
n k k f n n →∞=-∑      B. 1
211
lim ()2n
n k k f n n →∞=-∑
C. 2111lim ()2n
n k k f n n →∞=-∑      D. 21
2
lim ()2n
n k k f n n →∞=∑ 解：B
定积分的定义：21
01
11
()lim ()22n
n k k f x dx f n n
→∞
=-=∑⎰ 或1
1
211
()lim (
)2n
n k k f x dx f n n
→∞
=-=∑⎰。 8.二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正负惯性指数依次为（  ）
A. 2,0
B. 1,1
C. 2,1
D. 1,2  解：B
正负惯性指数：21232122313(,,)2222f x x x x x x x x x x =+++
它的矩阵为：011121110A ⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，求特征值：
()()()()11101101
1211211121
111111100
=1122=130,
111
E A λ
λλλλλλλλλλλλλλλλ--+----=---=---=+---------+---+-=---
特征值为正的有1个，为负的有1个，故正负惯性指数分别为1,1。 9.设()()123123,,,,,A B αααβββ==，若向量组12312,,,αααββ可由线性表示，则（  ）
A.00Ax Bx ==的解均为的解.
B.00T T
A x
B x ==的解均为的解.
C.00Bx Ax ==的解均为的解.
D.00T T B x A x ==的解均为的解. 解：D
线性表示、方程组的解：
12312α,α,αβ,β可由线性表示，
则
()()12312,,,a c
x b d
y αααββ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
=，  即
T T T A =BP A =P B ，，故000x x x =⇒=⇒=T T T T B P B A ，从而
00T T B x A x ==的解均为的解.
10. 已知矩阵101211125A -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
，若下三角可逆阵P 和上三角可逆阵Q 使得PAQ 为对角阵，则P ,Q 分别取（    ）
A.100101010,013001001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
B.100101210,010321001⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C.100101210,013321001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦  D.100123010,012131001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
解：C
矩阵的乘法、初等变换：
()101100101100|211010013210(,)125001000321A E --⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
=-→--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦F P  1011000130
100000
00.1001010100
130
010
01F E -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫
=→=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
ΛQ  11. 2
3_______.x x dx +∞
--∞=⎰
解：考查了无穷限广义积分的计算。