2021考研数学真题及答案解析（数二）
数学（二）
一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.） （1）当0x →时，3
2
0(1)x t e dt -⎰时7x 的
（A ）低阶无穷小. （B ）等价无穷小. （C ）高阶无穷小. （D ）同阶但非等价无穷小. 【答案】C .
【解析】因为当0x →时，2
3670(1)2(1)~2x t x e dt x e x '⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦
⎰，两边积分可知当0x →时，2
3
8
1(1)~4
x t e dt x -⎰
，故320(1)x t e dt -⎰是7x 高阶无穷小，正确答案为C .
（2）函数1
,0()1,0x e x f x x x ⎧-≠⎪
=⎨⎪=⎩
，在X =0处
（A ）连续且取极大值. （B ）连续且取极小值. （C ）可导且导数为0. （D ）可导且导数不为0.
【答案】D .
【解析】因为001
lim ()lim 1(0)x x x e f x f x
→→-===，故()f x 在X =0处连续;
因为20001
1
()(0)11lim lim lim 002x x x x x e f x f e x x x x x →→→-----===--，故1(0)2
f '=，正确答案为D . （3）有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2C m/s ，-3C m/s ，当底面半径为10c m ，高为5c m 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为 （A ）32125/,40/cm s cm s ππ. （B ）32125/,40/cm s cm s ππ-. （C ）32100/,40/cm s cm s ππ-. （D ）32100/,40/cm s cm s ππ--.
【答案】D .
【解析】由题意知，
2,3dr dh
dt dt
==-，又2,2V r h S rh ππ==， 则2
2dV dr dh rh r dt dt dt ππ=+，22dS dr dh h r dt dt dt
ππ=+，
当10,5r h ==时，
100dV dt π=-，40dS
dt
π=-，选D （4）设函数()ln (0)f x ax b x a =->有两个零点，则b
a
的取值范围是 （A ）(,)e +∞. （B ）(0,)e . （C ）1
(0,)e
.
（D ）1(,)e
∞+.
【答案】A .
【解析】令()ln 0f x ax b x =-=，()b f x a x =-'，令()0f x '=有驻点b x a
=，
ln 0b b b f a b a a a ⎛⎫
=⋅-⋅< ⎪⎝⎭
，从而ln 1b a >，可得b e a >，正确答案为A .
（5）设函数()sec f x x =在0x =处的2次泰勒多项式为21ax bx ++，则 （A ）11,2
a b ==-. （B ）11,2
a b ==. （C ）10,2
a b ==-. （D ）10,2
a b ==. 【答案】D .
【解析】由2
2(0)()(0)(0)()2
f f x f f x x o x =++
+'''知当()sec f x x =时， (0)sec01f ==，0(0)(sec tan )|0x f x x =='=，230(0)(sec tan sec )|1x f x x x ='+'==，
则221()sec 1()2
f x x x o x ==++.故选D .
（6）设函数(,)f x y 可微，且2(1,)(1)x f x e x x +=+，22(,)2ln f x x x x =，则(1,1)df = （A ）DX+DY . （B ）DX -DY . （C ）DY . （D ）-DY .
考研时间2021考试时间【答案】C .
【解析】212(1,)(1,)(1)2(1)x x x f x e e f x e x x x ''+++=+++ ①
2212(,)2(,)4ln 2f x x xf x x x x x ''+=+ ②
将01
,01x x y y ==⎧⎧⎨
⎨==⎩⎩
带入①②式有 1212(1,1)(1,1)1,(1,1)2(1,1)2f f f f ''''+=+=
联立可得1(1,1)0f '=，2(1,1)1f '=，12(1,1)(1,1)(1,1)df f dx f dy dy ''=+=，故正确答案为C . （7）设函数()f x 在区间[]0,1上连续，则()1
0f x dx =⎰
（A ）1211lim 22n
n k k f n n ∞→=-⎛⎫ ⎪⎝
⎭∑. （B ）1
211
lim 2n
n k k f n n
∞
→=-⎛
⎫ ⎪⎝⎭∑.
（C ）2111
lim 2n
n k k f n n ∞→=-⎛⎫ ⎪⎝
⎭∑. （D ）21
lim 22
n
n k k f n n
∞
→=⎛⎫⋅
⎪⎝⎭∑. 【答案】B .
【解析】由定积分的定义知，将[0，1]分成n 份，取中间点的函数值，则
()1
1211
lim 2n
n k f k f n
x dx n ∞
→=-⎛⎫ ⎝=⎪⎭⎰
∑， 即选B .
（8）二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次为 （A ）2，0. （B ）1，1. （C ）2，1. （D ）1，2.
【答案】B .
【解析】2222
1231223312
122313(,,)()()()2222f x x x x x x x x x x x x x x x x =+++--=+++ 所以011121110A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，故特征多项式为
11
||121(1)(3)11E A λ
λλλλλ
---=---=+---
令上式等于零，故特征值为-1，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.故应选B .
（9）设3阶矩阵123(,,)A ααα=，
123(,,)B βββ=若向量组123,,ααα可以由向量组12,ββ线性表出，则
（A ）0Ax =的解均为0Bx =的解. （B ）0T A x =的解均为0T B x =的解. （C ）0Bx =的解均为0Ax =的解. （D ）0T B x =的解均为0T A x =的解. 【答案】D .
【解析】令123(,,)A ααα=，123(,,)B βββ=，由题123,,ααα可由123,,βββ线性表示，即存在矩阵P ，使得BP A =，则当00T B x =时，000()0T T T T A x BP x p B x ===.恒成立，即选D .
（10）已知矩阵101211125A -⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪--⎝⎭
若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q ，使P A Q 为对角矩阵，则P ，Q 可以分别取
（A ）100101010,013001001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（B ）100100210,010321001⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
（C ）100101210,013321001⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
（D ）100123010,012131001-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】C .
【解1】特值带入法。C 选项正确
100101101100210211013=0103211250010010-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【解2】
()10110010110010110021101001321001321012500102610100,0321A E ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝=⎝⎭⎝⎭⎭
(,)F P =，则100210321P ⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
；
1
01100013010000000Λ1
00101010013
001001F E Q -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪- ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则101013001Q ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭.故应选C . 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.）
（11）2
3x x dx ∞
∞+--=⎰____________.
【答案】
1ln 3
【解析】()2
2
2
2200
11
32333ln3ln3
|x x x x x dx x dx d x ∞∞
∞
∞
+++----+∞-==--=-
⋅=
⎰⎰
⎰. （12）设函数()y y x =由参数方程2
214(1)t t x e t y t e t =⎧++=-+⎪
⎨⎪⎩
确定，则202|t d y dx ==____________. 【答案】23
.
【解析】由4221t t dy te t
dx e +=+，得223(442)(21)(42)2(21)t t t t t t d y e te e te t e dx e +++-+=+，
将0t =带入得2022
|3
t d y dx ==.
（13）设函数(),z z x y =由方程(1)ln arctan(2)1x z y z xy ++-=确定，(0,2)
z
x ∂∂=
__________. 【答案】1.
【解析】方程两边对X 求导得22
12(1)
014z z y z x y x z x x y ∂∂+++-=∂∂+， 将0,2x y ==带入原方程得1z =，再将0,2,1x y z ===带入得
1z
x
∂∂=. （14
）已知函数2
1()t t
x f t dx dy y =⎰，则2f π
⎛⎫
⎪⎝⎭
'____________. 【答案】2
cos 22
f πππ⎛⎫'= ⎪⎝⎭. 【解析】交换积分次序有2
11()sin t
y x
f t dy dx y
=⎰⎰，从而
2
1
11()sin
cos co 1
s t
y t x f t dy dx y y y dy y y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰ 由变限积分求导数公式，得
1()cos cos f t t t t t '=-，故2cos 22
f ππ
π⎛⎫'= ⎪⎝⎭
（15）微分方程0y y '''-=的通解y =__________.
【答案】1
2
123123,,,x x
y C e e
C C C C C R -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
=++∈ 【解析】由特征方程310λ-=
得12,31
1,2λλ==-±
，故方程通解为
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