2021年全国硕士研究生招生考试
数学（二）
（科目代码：302）
考试时间：180分钟，试卷总分：150分
考生注意事项
1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
3．填（书）写部分必须使用黑字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
(以下信息考生必须认真填写)
考生编号
考生姓名
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的．1.当0x →，
2
3
(e 1)d x t t -⎰
是7x 的
A.低阶无穷小.
B.等价无穷小.
C.高阶无穷小.
D.同阶但非等价无穷小.
【答案】 C.【解析】
()()2
3
6
6
7
5
5
e 1d 2e
1
2lim
lim lim 077x t x x x x t x
x
x
x
→→→--===⎰，故选C.
2.函数e 1
,0,()1,
0x x f x x x ⎧-≠⎪
=⎨⎪=⎩在0x =处
A.连续且取极大值
考研时间2021考试时间
B.连续且取极小值
C.可导且导数等于零
D.可导且导数不为零
【答案】D
【解析】因为)0(11e lim 0f x x
x ==-→，故连续；又因为211e 1
1e lim 2
20=--=--→x x x x x x x ，故可导，所以选D.
3.有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2/cm s ，3/cm s -，当底面半径为10cm ，高为5cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为
A.32125/,40/cm s cm s ππ
B.32125/,40/cm s cm s ππ-
C.32100/,40/cm s cm s ππ-
D.
32100/,40/cm s cm s
ππ--【答案】 C.【解析】
d 2d r t =，d 3d h
t
=-；2πV r h =，22π2πS rh r =+.
2dV d d 2ππ100πd d d r h
rh r t t t =+=-.dS d d d 2π2π4π40πd d d d r h r
h r r t t t t
=++=.4.设函数()ln (0)f x ax b x a =->有2个零点，则
b
a
的取值范围A.(e,)+∞ B.(0,e)
C.1
(0,e
D.1
(,)e
+∞【答案】A.
【解析】()ln f x ax b x,=-若0<b ，不满足条件，舍去；若0>b ，令()=0b
f x a x
'=-，得b x a =
.
在()()000b b ,f x ,,f x .a a ⎛⎫⎛⎫
''<∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()()0x x lim f x ,lim f x +
→+∞
→=+∞=+∞，
令=ln 1ln 0b b b f b b b ,a a a ⎛⎫⎛⎫-=-<
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭得ln 1b a >，即e b a >.故选A.
5.设函数()sec f x x =在0x =处的2次泰勒多项式为21ax bx ++，则
A.11,2a b ==-
B.11,2a b ==
C.10,2
a b ==- D.10,2
a b ==
【答案】 D.
【解析】()()()()()220sec 002
f f x x f f x x o x '''==++
+()2
2112
x o x =+
+.所以可得0a =，12
b =
.
6.设函数(,)f x y 可微，且2
2
2
(1,e )(1),(,)2ln ,x
f x x x f x x x x +=+=则d (1,1)f =
A.d d x y +
B.d d x y -
C.d y
D.d y
-【答案】选C
【解析】由于2)1()e ,1(+=+x x x f x ，两边同时对x 求导得
)
1(2)1(e )e ,1()e ,1(221+++=+'++'x x x x f x f x x x .
令0=x 得01)1,1()1,1(21+='+'f f ,x
x x x x x x f x x f 1
2ln 42),(),(22221⋅+='+';
令1=x 得2)1,1(2)1,1(21='+'f f .因此0)1,1(1='f ；1)1,1(2='f .所以y f d )1,1(d =，故选C.
7.设函数()f x 在区间[0,1]上连续，则
1
()d f x x =
⎰
A.1211lim
22n
n k k f n n →∞
=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑
B.1
211lim
2n
n k k f n n →∞
=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑
C.21
11lim
2n
n k k f n n
→∞
=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑
D.21
2lim
2n
n k k f n n
→∞
=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑
【答案】选B
【解析】将[]1,0的区间n 等分，每一份取区间中点的函数值⎪⎭⎫
⎝
⎛-n n k f 21，故选B.8.二次型2
2
2
123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次为
A.02，
B.11，
C.12，
D.21，
【答案】选B
【解析】
()()()()
222
123122331,,f x x x x x x x x x =+++--22222
2112222333131222x x x x x x x x x x x x =+++++-+-221223132222x x x x x x x =+++.
二次型对应矩阵为011121110⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
,
11101||121=121
1111E A λλλλλλλλ
--+---=----------100(1)12
2
1
1
1
(1)((2)(1)2](1)(3)
λλλλλλλλλ=+------=+---=+-则11p q ==.
9.设3阶矩阵()()123123=,,,,,,=A αααB βββ若向量组123,,ααα可以由向量组123,,βββ线性表出，则（
）
A.=Ax 0的解均为=Bx 0的解.
B.T =A x 0的解均为T =B x 0的解.
C.=Bx 0的解均为=Ax 0的解.
D.T =B x 0的解均为T =A x 0的解.
【答案】D
【解析】由题意，可知=A BC ，T =0B x 的解均为T T =0C B x 的解，即T
=0A x 的解，D 选项正确.
10.已知矩阵101211125-⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
A ，若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q ，使得PAQ 为对角矩阵，则、P Q 分别取（
）.
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