阅读与思考
《海伦—秦九韶公式》教学设计
【教学内容】：人教版数学八年级下册第十六章“阅读与思考”内容
【教学对象】：八年级下册学生
【教材分析】：本节内容是初中数学八年级下册第十六章，是阅读与思考部分中的内容，教材中只占用一页篇幅，叙述了秦九韶公式与海伦公式的记载历史，并未给出证明和应用。《初中数学新课程标准》中并没有做要求，本节内容之前学生已经学习三角形，二次根式等相关知识，它是三角形面积公式的延续与拓展。本节课意在引领学生运用所学知识对海伦公式与秦九韶公式进行转换，我把这节课放在学习勾股定理之后进行学习，加深了本节课学习的要求，要会推导海伦-秦九韶公式且会有简单应用，让同学们从中体会到数学之美。
【学情分析】：八年级学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的二次根式、三角形面积公式以及平方差公式和完全平方公式等知识，为了让学生能够理解海伦-秦九韶公式的证明过程，这节课我是调整到学习勾股定理之后进行讲解的。
【教学目标】
1、知识与技能：
（1）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；
（2）会证明秦九韶公式与海伦公式，并理解其本质；
（3）会选用合适的方法解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题
2 、过程与方法：
（1）经历证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；
（2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力
初二数学下册3 、情感态度价值观：
（1）体会到数学的简洁美；
（2）通过阅读相关数学史，让学生体会到我国古代数学的辉煌成就是许多数学家们心血和汗水的结晶，学习数学家秦九韶善于继承又勇于创新、攀登高峰的高尚品德
【教学重点】如何利用勾股定理证明秦九韶海伦公式的过程
【教学难点】海伦- 秦九韶公式的证明
【教学方法】本节课采用“情境教学法”、“启发式教学法”充分发挥学生的主观能动性，充分调动学生的积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验
【教学过程设计】
一、创设情境引入新知
师：生活离不开数学，数学来源于生活，数学能解决现代生活中许多问题，它能不能解决古代问题，请看大屏幕，我请一位同学帮我朗读一下。
生：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为田几何？
师：通过朗读你获得了什么信息？
生：它告诉我们有块沙田，有三个边，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。师：他可以转化成什么问题？
生：数学问题
师：它让我们求什么呢？
生：求面积
如图1，在三角形ABC 中，A=15，B=14，C=13，求三角形ABC 的面积，运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？
图1
生：可以
师：我们都知道三角形面积是二分之一底乘高，现在有底了缺什么吗？ 生：缺三角形的高
师：那我们如何求三角形的高？ 生：作底边上的高，用勾股定理求高
师：思路有了，现在我们开始拿出纸和笔来求三角形的面积
（一位同学到黑板前演练，其他同学在下面练习）
设计意图：数学学习中重要的是提出问题，有了问题，数学思考就有了方向，思考就有了动力，通过复习以前学过的知识，提出问题环环相扣，推动学生们的思考。为下面的题目把三边具体的数转化成字母常数做铺垫，把数学题目从特殊转化成一般过程。
二、 自主探究，学习新知
师：如图2.在△ABC 中，AD 为边BC 上的高，a 、b 、c  分别是三角形的三边长，求三角形
的面积? （老师已经帮你把未知数设好了，请同学们根据已知关系，列方程组，一位同学到黑板前演练，其他同学在下面练习）请同学们先自己研究，做好后小组讨论交流
图2
解题过程：在△ABC 中，AD 为边BC 上的高，根据勾股定理，有⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+=+a z y b z x c y x 2
222
22解方程，得a
c b a z 22
22-+=
a
b c a y 22
22-+=
，
2222222222222)(421
)2(
b c a c a a
a b c a c y c x -+-=
-+-=
-=
又因为a ABC
ah S
2
1
=
∆，所以〉-+-〈=2
22222)2(41b a c a c s
这是我们南宋末年秦九韶发现的用三角形三边求出的面积
设计意图：让学生明确：三角形三边确定了，三角形的面积就随之确定，自然可以用三边长表示出面积，让学生自己动手实践，小组合作交流，引出秦九韶公式，增强体验深刻性
三、 新课讲授
师：同学们通过观察这个式子虽然它通过三角形的三边求出三角形的面积，但是过于繁琐，
不方便记忆，我们仔细观察这个公式〉-+-〈=
2
22222)2
(41b a c a c s 发现被开方数里
面符合平方差公式的特点，可以因式分解。
师：追问1:
同学们可不可以尝试把这个被开方数转化成不能再因式分解的式子？
（一位同学到黑板前演练，其他同学在下面练习） 公式转化过程：
（先让学生们独立做题，选代表演示解法，最后师生集体评价。）
师：追问2：
这个式子还是不太方便我们记忆，有没有别的办法帮忙再转化一下，有一个三角形，边
长分别为a 、b 、c ，若
，三角形的面积S 怎么表示？
（学生自己动手转化）结果为： ()()()c p b p a p p S ---=
由此推出海伦公式。
设计意图：自己动手推导，教师巡视，给予个别指导，让学生体验：秦九韶公式、海伦公式是等价的，形异质同
师：追问3：
通过预习同学们知道什么是海伦公式吗？为什么叫海伦-秦九韶公式？ 海伦公式：
三角形的面积()()()c p b p a p p S ---=
其中：a 、b 、c  分别是三角形的三边长，()c b a p ++=
21
师：课后我也让同学们收集了海伦和秦九韶的生平事迹，同学们都收集吗？现在我们共同来了解一下海伦和秦九韶两位数学家。
海伦，古希腊数学家、力学家、机械学家。 海伦有许多学术著作，都用希腊文撰写，但大部分已失传。主要著作是《度量论》一书。该书共3卷，分别论述平面图形的面积，立体图形的体积和将图形分成比例的问题。其中卷Ⅰ第8题给出著名的已知三边长求三角形面积的海伦公式。
我国南宋末年数学家秦九韶，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？” 其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积。”若以大斜记为a ，中斜记为b ，小斜记为c ，用现代公式表示即为：
总结：三角形的面积()()()c p b p a p p S ---=
其中：a 、b 、c  分别是三角形的三边长，
()c b a p ++=
21
和
是等价的，实质是一样的。
师：追问4：
刚才我们推导的海伦公式是在锐角三角形中推导的，同学们思考一下，当三角形为直角三角形或钝角三角形时，用勾股定理的方法你是否可以证明海伦-秦九韶公式的成立？
这作为我们今天课后练习，小组讨论并证明。
设计意图：在推导过程中自然地解释海伦公式中为什么令
，体会海伦公式简洁
的魅力，并了解一些数学家的故事。，让学生通过等式变形，学会知识间的融会贯通，感受数学变中之不变的美感，让学生体会中西数学家的珠联璧合，交相辉映．东西方数学家为数学的发展都作出应有的贡献，不同的表达方式，讲述了相同的内容，学生可从中感受数学统一性之美。  〉
-+-〈=2
22222)2(41b a c a c s 〉-+-〈=222222)2(41b a c a c s
四、知识巩固
师：在回到开头，我们用勾股定理的方法求的这道题，现在我们可以尝试用海伦-秦九韶公式来解决一下，看看谁做的又快又好。
如图，在三角形ABC中，A=15，B=14，C=13，求三角形ABC的面积，运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？
设计意图：1.让学生经历运用海伦公式解决数学问题的过程；2.培养学生利用海伦公式解决三角形三边与面积之间关系问题的意识，体现海伦公式的方便。
五、课堂小结
师生共同回顾本节课所学内容
六、作业布置
作业1：
课后练习：
小组讨论并证明：当∆ABC为直角三角形时，当∆ABC为钝角三角形时，用勾股定理的方法你是否可以证明海伦-秦九韶公式的成立？
作业2.课本16面练习
七、课后反思
我把这节课安排在《勾股定理》之后学习，求三角形的面积就是通过需要利用高，利用勾股定理建立等量关系求出三角形的高，然后求出三角形的面积，主要目的是为了引导学生能够自己利用所学的知识证明秦九韶公式，这样大大降低了学生的证明难度，但是由于公式的证明涉及到字母常数，在证明过程中，对部分学生还是有难度的，在通过秦九韶公式的转化，进一步推出海伦公式，同学们比较容易发现海伦公式，秦九韶公式之间的关系，它们是等价的，实质是一样的。本节课对于基础较好的学
生来说，海伦公式及其应用在今后的学习中是十分重要的，设计本课内容有利于学生以后的进步。本节课的不足之处，因为一节课的课堂时间有限，海伦-秦九韶公式的应用题目较少，以及什么题目用海伦公式较好，什么题目用秦九韶公式较好，什么时候用勾股定理求三角形面积较好，没有充分展示出来，这将作为第二课时继续进行探究。