北师大版八年级数学下册各章知识要点总结
第一章 三角形的证明
一、全等三角形判定定理：
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)
5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）
二、等腰三角形的性质
定理：等腰三角形有两边相等；(定义)
定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，
这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 （三线合一）
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；
三、等腰三角形的判定
1. 有关的定理及其推论
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。）
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出 与定义、公理、已证定理或已知 件相矛盾的结果，
从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法
四、直角三角形
1、直角三角形的性质
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
2、直角三角形判定
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；
3、互逆命题、互逆定理
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆
命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个
定理称为另一个定理的逆定理.
五、线段的垂直平分线 角平分线
1、 线段的垂直平分线。
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心）
判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
2、 角平分线。
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心）
判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
3、 逆命题、互逆命题的概念，及反证法
第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组
一、一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
2、不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.
3、求不等式解集的过程叫解不等式.
4、由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组
5、不等式组的解集 :一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。
6、等式基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.
基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式.
二、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.
（注：移项要变号，但不等号不变。）
性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
三、解不等式的步骤: 1、去分母; 2、去括号; 3、移项、合并同类项; 4、系数化为1。 四、解不等式组的步骤:1、解出不等式的解集。 2、在同一数轴表示不等式的解集。 3、写出不等式组的解集。
五、列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：
（1） 审题； （2）设未知数，（不等量）关系式；
（3）设元，(根据不等量)关系式列不等式(组) （4）解不等式组；检验并作答。
第三章 图形的平移与旋转
一、平移定义和规律
1平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
关键：a. 平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）。
b. 图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。
2平移的规律(性质)：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等、对应角相等。
注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。
3简单的平移作图：
平移作图要注意：①方向；②距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。
二、旋转的定义和规律初二数学下册
1旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角。
关键：a. 旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。
b. 图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。
2旋转的规律(性质)：
经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。
(旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等。) 注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等。
3简单的旋转作图：
旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度。
整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。
三、中心对称
1．中心对称的有关概念：中心对称、对称中心、对称点
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做
对称点。
2．中心对称的基本性质：
（1）．成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。
（2）．成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
3．中心对称图形的有关概念：中心对称图形、对称中心
把一个平面图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。
4、中心对称与中心对称图形的区别与联系
如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。 3．图形的平移、轴对称（折叠）、中心对称（旋转）的对比
5、图案的分析与设计 ① 首先到基本图案，然后分析其他图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成。 ② 图案设计的基本手段主要有：轴对称、平移、旋转三种方法。
第四章 分解因式
一、公式：
1、ma+mb+mc=m(a+b+c) 2、 3、
二、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
1、把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.
2、把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.
3、ma+mb+mc=m（a+b+c）
4、因式分解与整式乘法是相反方向的变形。
三、把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式.
提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.
公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；
（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；
（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.
（4）所有这些因式的乘积即为公因式.
四、分解因式的一般步骤为:
（1）若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.
（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.
（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.
五、形如或的式子称为完全平方式.
六、分解因式的方法：1、提公因式法。 2、运用公式法。
1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
1)分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。
2)分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。
3)分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零
2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示 其中A、B、C为整式（）
注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。
（2）应用基本性质时，要注意C≠0，以及隐含的B≠0。
（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。
3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式
1)分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。
2)最简分式：分子与分母没有公因式的分式
3)分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。
4)最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。
4. 分式的符号法则
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为
注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。
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