初⼆数学下册10道经典压轴题（考点+解析）
例题1
古希腊数学家把数 1 ， 3 ， 6 ， 10 ，15 ， 21 ，...... 叫做三⾓形数，它有⼀定的规律性。若把第⼀个三⾓形数记为 a1，第⼆个三⾓形数记为 a2 ，......，第 n 个三⾓形数记为 an ，则 an + a(n+1) = ?
答案：（n + 1）^2 。
例题2
在平⾯直⾓坐标系中，对于平⾯内任意⼀点 P（a , b）若规定以下三种变换：
① f（a , b）= （-a , b），如 f（2 , 5）= （-2 , 5）；
② g（a , b） = （b , a）, 如 g（2 , 5）= （5 , 2）；
③ h（a , b）= （-a , -b），如 h（2 , 5）= （-2 , -5）。
根据以上变换，那么 f（h（5 ， -3））等于多少？
答案：（5,3）。
例题3
如图，已知等腰直⾓△ABC 的直⾓边长为 1 ，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为直⾓边，画第⼆个等腰 Rt△ACD ，在以
Rt△ACD 的斜边 AD 为直⾓边，画第三个等腰 Rt△ADE ， ... ，依次类推到第五个等腰 Rt△AFG ，则由这五个等腰直⾓三⾓形所构成的图形的⾯积是多少？
答案：31/2 。
例题4
如图所⽰，直线 OP 经过点 P（4,4√3），过 x 轴上的点 1、3、5、7、9、11 ......分别作 x 轴的垂线，与直线 OP 相交得到⼀组梯形，其阴影部分梯形的⾯积从左⾄右依次记为 S1 , S2 , S3 , ... , Sn , 则 Sn 关于 n 的函数关系式是？
答案：Sn = 4√3 （2n - 1）。
例题5
现将 1、 √2、√3、√6 四个数按下列⽅式排列。若规定（m , n）表⽰第 m 排从左到右第 n 个数，则（5 ， 4）与（15， 7）表⽰的两数之积是多少？
答案：2√3 。
例题6
现将⼀块直⾓三⾓形的花圃进⾏改造，已知两直⾓边长分别为 6 m 、8 m 。若将其扩建成等腰三⾓形，且扩充部分是以8 m 为直⾓边的直⾓三⾓形，那么扩建后的等腰三⾓形花圃的周长是多少 m ？
解：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90° ，AC = 8 m, BC = 6 m,
由勾股定理得：AB = 10 m ，扩充部分为 Rt△ACD 。
扩充成等腰△ABD ，应分以下三种情况：
（1）如图①，当 AB = AD = 10 m 时，可求得 CD = CB = 6 m ，
故△ABD 的周长为 AB + AD + BD = 32 m ；
（2）如图②，当 AB = BD = 10 m 时，可求得 CD = BD - BC = 4 ,
在 Rt△ACD 中，由勾股定理可得 AD = √（AC^2 + CD^2）= 4√5 ,
故△ABD 的周长为 AB + BD + AD = (20 + 4√5) m ；
（3）如图③，当 AB 为底时，设 AD = BD = x ，则 CD = x - 6 ,
在 Rt△ACD 中，由勾股定理可得 AC^2 + CD^2 = AD^2 ,
所以 8^2 + （x - 6）^2 = x^2 , 解得：x = 25/3 ,
故△ABD 的周长为 AB + BD + AD = 80/3 m 。
例题7
仔细观察下表后，请回答下列问题：
①当正数 x 的值逐渐增⼤时，x 的算术平⽅根有什么变化规律？
②正数 n 的算术平⽅根与它本⾝有怎样的⼤⼩关系？
③如果 10 的算术平⽅根为 a ，则 a 的整数部分是什么？⼩数部分⼜是什么？请说明理由。
解：
①x 的算术平⽅根也逐渐增⼤；
②当 0 < n < 1 时，√n > n ;
当 n = 1 时， √n = n ;
当 n > 1 时， √n < n ;
③a 的整数部分是 3 ，⼩数部分是 √10 - 3 。
理由：
∵ 9 < 10 < 16 , ∴ √9 = 3 < √10 = a < √16 = 4 ,
∴ a 的整数部分是 3 ，⼩数部分是 a - 3 （即 √10 - 3）。
例题8
如图所⽰，BE 与 CD 相交于点 A ，CF 是∠BCD 的⾓平分线，EF 是∠BED 的⾓平分线，试求∠F 与∠B 、∠D 之间的数量关系，并说明理由。
解：设 DC 、 EF 相交于点 M ，CF 、BE 相交于点 N ，
则有：∠DCF + ∠F = ∠D + ∠DEM ①，
∠F + ∠FEB = ∠B + ∠BCF ②，
① + ②，得（∠F +∠F ）+ （∠DCF + ∠FEB）= （∠D + ∠B）+ （∠DEM + ∠BCF），
∵ CF 是∠BCD 的⾓平分线，EF 是∠BED 的⾓平分线，
∴∠DEM = ∠FEB ，∠BCF = ∠DCF ，
∴∠DCF + ∠FEB = ∠DEM + ∠BCF ，
∴∠DCF + ∠FEB = ∠DEM + ∠BCF ，
∴ 2∠F = ∠D + ∠B 。
例题9
已知，⽤ 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车装满货物⼀次可运货 10 吨；⽤ 1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车装满货物⼀次可运货 11吨。某物流公司现有 31 吨货物，计划同时租⽤ A 型车 a 辆， B 型车 b 辆，⼀次运完，且恰好每辆车都装满货物。根据以上信息，请回答下列问题：
（1） 1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都装满货物⼀次可分别运货多少吨；
（2）请你帮该物流公司设计租车⽅案；
（3）若 A 型车每辆租⾦ 100 元/次，B 型车每辆需租⾦ 120 元/次，请选出最省钱的租车⽅案，并求出最少租车费。
解：
（1）设 1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都装满货物⼀次可分别运货 x 吨， y 吨，
根据题意得
故1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都装满货物⼀次可分别运货 3 吨， 4 吨。
（2）根据题意得，3a + 4b = 31 ，即 b = ( 31 - 3a ) / 4 ,
要使 a , b 都为正整数的情况共有三种情况：
① a = 1 , b = 7 ；
② a = 5 , b = 4 ;
③ a = 9 , b = 1 。
故租车⽅案分别为：
① A 型车 1 辆， B 型车 7 辆；
② A 型车 5 辆， B 型车 4 辆；
③ A 型车 9 辆， B 型车 1 辆。
（3）设车费为 w 元，则 w = 100a + 120b ,
⽅案①花费为 100 × 1 + 120 × 7 = 940 元；
⽅案②花费为 100 × 5 + 120 × 4 = 980 元；
初二数学下册
⽅案③花费为 100 × 9 + 120 × 1 = 1020 元。
故⽅案①最省钱，即租⽤ A 型车 1 辆，B 型车 7 辆时，最少租车费为 940 元。
例题10
已知直线 AB 过点 A（2 ， 1）和点 B ，其中点 B 是另⼀条直线 y = x + 2 与 y 轴的交点。
（1）求直线 AB 的表达式；
（2）点 P 在直线 AB 上，是否存在点 P 使得△BOP 的⾯积为 1 ，若存在，写出所有满⾜条件的点 P 的坐标，若不存在，请说明理由。
（3）点 P 为直线 AB 上的⼀个动点，当点 P 在线段 AB 之间时，若 S△BOP = 2S△AOP ，求出此时点 P 的坐标。
解：
（1）设直线 AB 的表达式为 y = kx + b ( k ≠ 0 ) ,
根据题意得：A（2 ，1），B（0 ，2），
则有：1 = 2k + b , 2 = b ,
解得：k = -1/2 ,
所以直线 AB 的表达式为 y = -1/2 x + 2 .
（2）设点 P 的坐标为（a , -1/2 a + 2）,
则 S△BOP = 1/2 OB ▪∣a∣= 1/2 × 2 ▪∣a∣ = ∣a∣，
∵ S△BOP = 1 ，∴∣a∣ = 1 ，∴ a = ±1 ,
∴ P 点的坐标为（1 ， 3/2）或（-1，5/2）。
（3）设点 P 的坐标为（a , -1/2 a + 2）,
∵ S△BOP = 1/2 OB ▪∣a∣= 1/2 × 2 ▪∣a∣ = ∣a∣，
S△AOP = S△AOB - S△BOP = 2 - ∣a∣，
⼜∵ S△BOP =2 S△AOP ，
∴∣a∣ =2 ▪ ( 2 - ∣a∣) ，解得：a = ±4/3 ，
∵点 P 在线段 AB 之间，∴ a = 4/3 ,
∴ P 点的坐标为（4/3 ，4/3）。
end
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