2019-2020年高中数学第一章常用逻辑用语1.2.2“非”（否定）教学案新人教B版选修1-1
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你能尝试写出下面含有一个量词的命题的否定吗？
(1)所有矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.
答：(1)存在一个矩形不是平行四边形；
(2)存在一个素数不是奇数；
(3)∃x∈R，x2－2x＋1<0.
[预习导引]
1．概念
一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．
由“非”的含义，可以用“非”来定义集合A在全集U中的补集∁UA＝{x∈U|綈(x∈A)}＝{x∈U|x∉A}．
2．p与綈p真值表
p | 綈p |
真 | 假 |
假 | 真 |
3.存在性命题的否定
存在性命题p：∃x∈A，p(x)，
它的否定是綈p：∀x∈A，綈p(x)．
存在性命题的否定是全称命题．
4．全称命题的否定
全称命题q：∀x∈A，q(x)，
它的否定是綈q：∃x∈A，綈q(x)．
全称命题的否定是存在性命题．
5．开句
含有变量的语句，通常称为开句或条件命题.
要点一全称命题的否定
例1 写出下列全称命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)数列：1,2,3,4,5，中的每一项都是偶数；
(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
解 (1)其否定为：存在一个平行四边形的对边不都平行．
(2)其否定：数列：1,2,3,4,5，中至少有一项不是偶数．
(3)其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.
规律方法 全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．
跟踪演练1 写出下列全称命题的否定：
(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆；
(3)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
解 (1) 綈p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．
(2) 綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．
(3) 綈p：∃x∈Z，x2的个位数字等于3.
要点二 存在性命题的否定
例2 写出下列存在性命题的否定：
(1)p：∃x∈R，x2＋x＋3≤0；
(2)q：有的三角形是等边三角形；
(3)r：有一个质数含有三个正因数．
解 (1)綈p：∀x∈R，x2＋x＋3>0.
(2)綈q：所有的三角形都不是等边三角形．
(3)綈r：每一个质数都不含三个正因数．
规律方法存在性命题的否定是全称命题，即“∃x∈A，p(x)”的否定为“∀x∈A，綈p(x)”．由以上结论，可知写一个命题的否定时，首先判断该命题是“全称命题”还是“存在性命题”，要确定相应的量词，给出命题否定后，要判断与原命题是否相对应(全称命题↔存在性命题)，进一步判断它们的真假是否对应．
跟踪演练2 写出下列存在性命题的否定：
(1)p：有些实数的绝对值是正数；
(2)p：某些平行四边形是菱形；
(3)p：∃x∈R，x3＋1<0.
解 (1)綈p：所有实数的绝对值都不是正数．
(2)綈p：每一个平行四边形都不是菱形．
(3)綈p：∀x∈R，x3＋1≥0.
要点三 存在性命题、全称命题的综合应用
例3 已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围．
解 在区间[－1,1]中至少存在一个实数c，使得f(c)>0的否定是在[－1,1]上的所有实数x，都有f(x)≤0恒成立．又由二次函数的图象特征可知，
即
即
∴p≥或p≤－3.
故在区间[－1,1]上至少存在一个实数c且使f(c)>0的实数p的取值范围是.
规律方法 通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算．
跟踪演练3 若∀x∈R，f(x高中数学教案)＝(a2－1)x是减函数，则a的取值范围是________．
答案 (－，－1)∪(1，)
解析 依题意有：0<a2－1<1⇔
⇔⇔－<a<－1或1<a<.
1．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“綈p”形式的命题是( )
A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根
答案 C
解析 命题p是存在性命题，其否定形式为全称命题，即綈p：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根．
2．对下列命题的否定说法错误的是( )
A．p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形
D．p：∃n∈N,2n≤100；綈p：∀n∈N,2n>100.
答案 C
解析 “有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．
3．下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R,2x－1>0
B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lgx<1
D．∃x∈R，tanx＝2
答案 B
解析 A中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称命题，当
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