《6.2.2 组合与组合数》教案
（第一课时 组 合）
课标要求 | 素养要求 |
1.通过实例理解组合的概念. 2.会解决简单的组合问题. | 通过学习组合的概念，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养. |
【课前预习】
新知探究
在某次团代会上，某班级需要从5名候选人中选择3人担任代表，问共有多少种选择方案？ 这样的问题就是本节课要重点研究的问题．
问题 如何解决上述情境中的问题？
提示 从5名候选人中选取3人担任代表，共有10种不同的选择方法．
1．组合的概念
2．排列与组合之间的联系与区别
从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，这个是共同点，但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的，而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的．
拓展深化
[微判断]
1．从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的组合有6个．(×)
提示 从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的组合有{a，b}，{a，c}，{b，c}3个．
2．从1，3，5，7中任取两个数相乘可得6个积．(√)
3．1，2，3与3，2，1是同一个组合．(√)
[微训练]
1．下列问题属于组合问题的是________．
①由1，2，3，4构成的双元素集合；②由1，2，3构成的两位数的方法；③由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法．
答案 ①
2．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等，则车票票价的种数是____(假设票价只与距离有关)．
答案 3
[微思考]
两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合呢？
提示 两个相同的排列需元素相同且元素排列顺序相同．两个相同的组合只要元素相同，不看元素顺序如何.
【课堂互动】
题型一 组合概念的理解
【例1】 (多空题)给出下列问题：
(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？
(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选
法？
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
在上述问题中，____是组合问题，______是排列问题．
解析 (1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．
(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．
(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．
(4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题．
答案 (1)(4) (2)(3)
规律方法 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
【训练1】 判断下列问题是排列问题还是组合问题．
(1)集合{0，1，2，3，4}的含三个元素的子集的个数是多少？
(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？
解 (1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从0，1，2，3，4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题．
(2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题．
题型二 简单的组合问题
【例2】 (多空题)有5名教师，其中3名男教师，2名女教师．
(1)现要从中选2名去参加会议，有__________种不同的选法；
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有__________种不同的选法．
解析 (1)从5名教师中选2名去参加会议的选法种数，通过列举法可得共有10种不同的方法．
(2)可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师，有3种方法；
第2类，选出的2名是女教师，有1种方法．
根据分类加法计数原理，共有3＋1＝4(种)不同选法．
(3)从3名男教师中选2名的选法有3种，从2名女教师中选2名的选法有1种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法3×1＝3(种)．
答案 (1)10 (2)4 (3)3
规律方法 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问
题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．
(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．
在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．
【训练2】 一个口袋内装有大小相同的4个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解 (1)从口袋内的5个球中取出3个球，取法种数是10.
(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是需要从4个白球中取出2个，取法种数是6.
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从4个白球中取出3个球，取法种数是4.
题型三 双重元素的组合问题
【例3】 某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益活动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有( )
A．25种 B．35种
C．820种 D．840种
解析 分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，只需在其余5人中选3人，有10种选法；男生甲不参加，女生乙参加，只需在其余5人中选3人，有10种选法；两人都不参加，只需在其余5人中选4人，有5种选法．所以共有10＋10＋5＝25(种)不同的选派方案．
答案 A
规律方法 本题用到两个计数原理解题，两个原理的区别在于：前者每次得到的是最后结果，后者每次得到的是中间结果，即每次仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成．
【训练3】 某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门．若要求两类课程中各至少选1门，则不同的选法共有( )
A．15种 B．30种 C．45种 D．90种
解析 分两类，A类选修课选1门，B选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有3×10＋3×5＝45(种)选法．
答案 C
【素养达成】
一、素养落地
1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象素养及逻辑推理素养．
2．排列与组合的联系与区别
(1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．
(2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序．
二、素养训练
1．(多选题)给出下列问题：
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？
②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？
高中数学教案③某人射击8，击中4，且命中的4均为2连中，则不同的结果有多少种？
其中是组合问题的是( )
A.① B．②
C．③ D．没有
解析 ①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题，故选BC.
答案 BC
2．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各数位之和为偶数的共有( )
A．36个 B．24个
C．18个 D．6个
解析 若各位数字之和为偶数，则只能两奇一偶，故在三个奇数中选二个共有3种选法，在两个偶数中选一个有2种选法，然后对三个数字全排列，共有3×2×A＝36(个)．
答案 A
3．某班级要从4名男生、2名女生中派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )
A．14 B．24
C．28 D．48
解析 可分类完成．第1类，选派1名女生、3名男生，有2×4＝8(种)选派方案；
第2类，选派2名女生、2名男生，有1×6＝6(种)选派方案．
故共有8＋6＝14(种)不同的选派方案．
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