第七章 随机变量及其分布
（第一课时 条件概率）
课标要求 | 素养要求 |
1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率. 2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系. | 通过学习及应用条件概率，提升数学抽象及逻辑推理素养. |
【课前预习】
新知探究
春节期间，妈妈带着达娜去她的一个朋友家做客，闲谈时正巧碰到她的女儿回家，这时女人介绍说：“这是我的一个女儿，我还有一个孩子呢”，在回家的路上妈妈告诉达娜：“这家有两个孩子，只知道有一个是女孩，另一个不太清楚．”于是达娜在想，另一个孩子也是女孩的可能性有多大呢？是50%的概率吗？你能帮助达娜分析一下吗？
问题 上述情景中的概率问题是属于哪种类型的概率？达娜猜想的概率是否正确？
提示 达娜猜想的概率不正确，这是一个条件概率问题，学习完本节课后我们就能准确地求解此概率类型．
1．条件概率的概念
条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
2．概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式．
3．条件概率的性质
设P(A)>0，则
(1)P(Ω|A)＝1；
(2)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；
(3)设和B互为对立事件，则P( )＝1－P(B)．
拓展深化
[微判断]
1．若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(×)
提示 若事件A，B互斥，则P(B|A)＝0.
2．事件A发生的条件下，事件B发生的概率，等于A，B同时发生的概率．(√)
提示 事件A发生的条件下，事件B发生的概率为P(B|A)＝，事件A，B同时发生的概率为P(AB)，两者不一定相等．
[微训练]
1．设A，B为两个事件，且P(A)＞0，若P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝( )
A. B.
C. D.
解析 P(B|A)＝＝＝.
答案 A
2．把一枚硬币任意掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，事件B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝__________．
解析 由题意知P(A)＝，P(AB)＝，∴P(B|A)＝＝＝.
高中数学教案答案
[微思考]
1．若P(A)≠0，则P(AB)＝P(B|A)·P(A)，这种说法正确吗？
提示 正确．由P(B|A)＝得P(AB)＝P(B|A)·P(A)．
2．100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}．
若任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率．
提示 事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝＝.
【课堂互动】
题型一 利用定义求条件概率
【例1】 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
解 设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝A＝30.
根据分步乘法计数原理，有n(A)＝AA＝20，
所以P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，
所以P(AB)＝＝＝.
(3)法一 由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率
P(B|A)＝＝＝.
法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.
规律方法 利用定义计算条件概率的步骤
(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．
(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．
【训练1】 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0.8 B．0.75
C．0.6 D．0.45
解析 设某天的空气质量为优良是事件B，随后一天的空气质量为优良是事件A，故所求概率为P(A|B)＝＝＝0.8.
答案 A
题型二 缩小样本空间求条件概率
【例2】 集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．
解 将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个．在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个，所以所求概率P＝＝.
【迁移1】 (变设问)在本例条件下，求乙抽到偶数的概率．
解 在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，共9个，所以所求概率P＝＝.
【迁移2】 (变条件，变设问)若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)．
解 甲抽到的数大于4的情形有：(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5，2)，(6，1)，共2个．所以P(B|A)＝＝.
规律方法 将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的.
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