导数
一、极限的概念
1、数列极限的定义：
  一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数A（即无限趋近于0），那么就说数列的极限是A，记作
注：①上式读作“当趋向于无穷大时，的极限等于A”。“∞”表示“趋向于无穷大”，即无限增大的意思。有时也记作当∞时，A
②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________
③思考：是否所有的无穷数列都有极限？
例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由
  （1）1，，，…，，… ；（2），，，…，，…；
（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，，…；
（5）－1,1，－1，…，，…； 
注：几个重要极限：
  （1）          （2）（C是常数）
  （3）无穷等比数列（）的极限是0，即 ：
2、当时函数的极限
  （1） 画出函数的图像，观察当自变量取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当趋向于正无穷大时，函数
的极限是0，记作：
  一般地，当自变量取正值且无限增大时，如果函数
的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是A，记作：
也可以记作，当时，
  （2）从图中还可以看出，当自变量取负值而无限增大时，函数的值无限趋近于0，这时就说，当趋向于负无穷大时，函数的极限是0，记作：
一般地，当自变量取负值而无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是A，记作：
也可以记作，当时，
  （3）从上面的讨论可以知道，当自变量的绝对值无限增大时，函数的值都无限趋近于0，这时就说，当趋向于无穷大时，函数的极限是0，记作
一般地，当自变量的绝对值无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于无穷大时，函数的极限是A，记作：
也可以记作，当时，
特例：对于函数（是常数），当自变量的绝对值无限增大时，函数的值保持不变，所以当趋向于无穷大时，函数的极限就是，即
例2：判断下列函数的极限：
（1）                        （2）
（3）                          （4）
练习与作业
1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限
  （1）1，，，…，，… ；（2）7，7，7，…，7，…；
  （3）；   
  （4）2，4，6，8，…，2n，…；
  （5）0.1，0.01，0.001，…，，…；
  （6）0，…，，…；
  （7）…，，…；
  （8）…，，…；
  （9）－2,　0，－2，…，,…，
2、判断下列函数的极限：
  （1）                        （2）
  （3）                          （4）
  （5）                        （6）
  （7）                        （8）
二、函数的极限
函数当无限趋近于2时的变化趋势
当从左侧趋近于2时  （）
1.1
1.3
1.5
1.7
1.9
1.99
1.999
1.9999
2
y=x2
1.21
当从右侧趋近于2时  （）
2.9
2.7
2.5
2.3
2.1
2.01
2.001
2.0001
2
y=x2
8.41.
7.29
发现
我们再继续看
当无限趋近于1（）时的变化趋势；
函数的极限有概念：当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数A，就说当趋向时，函数的极限是A，记作。
特别地，；
三、例题
求下列函数在X＝0处的极限
（1）  （2）    （3）　
四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。
五、练习及作业：
1、对于函数填写下表，并画出函数的图象，观察当无限趋近于1时的变化趋势，说出当时函数的极限
0.1
0.9
0.99
0.999
0.9999
0.99999
1
y=2X＋1
1.5
1.1
1.01
高中数学教案1.001
1.0001
1.00001
1
y=2X＋1
2、对于函数填写下表，并画出函数的图象，观察当无限趋近于3时的变化趋势，说出当时函数的极限
2.9
2.99
2.999
2.9999
2.99999
2.999999
3
y=X2－1
3.1
3.01
3.001
3.0001
3.00001
3.000001
3
y=X2－1
3　     
  　（） 
函数极限的运算法则
    对于函数极限有如下的运算法则：
如果，那么
也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.
说明：当C是常数，n是正整数时，
这些法则对于的情况仍然适用.
三 典例剖析
例1 求
例2 求
例3 求
例4 求
总结：
例5 求
课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）
（1）；                      （2）
（3）；                （4）
（5）                          （6）
（7）                      （8）
六 作业（求下列极限）
（1）        （2）        （3）
（4）      （5）    （6）
（7）                （8）        （9）
（10）        （11）  （12）
（13）          （14）      （15）
（16）      （17）     
（18）
导数的背景
1.　瞬时速度
问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？
析：大家知道，自由落体的运动公式是（其中g是重力加速度）.
当时间增量很小时，从3秒到（3＋）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大.　因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.