四川省成都市2021-2022学年高三第一次诊断性检测理科数
陈坤眉毛
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合{}2|0A x x x =->，{}
|e 1x B x =≥，则A B = （）A ．()
,1-∞B ．()1,1-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2．已知复数z =
i 2i 1-（i 为虚数单位），则|z |=（      ）A
B ．1
5C ．1
25D
3．函数()()sin sin cos f x x x x =+的最小正周期是（      ）
A ．3π
B ．2π
C ．π
D ．2π
4．若实数x ，y 满足约束条件03250210x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩
，则z =3x +y 的最大值为（ ）
A ．3-
附子理中丸的功效
B ．3
C ．4-
D ．45．在△ABC 中，已知AB ⊥BC ，AB =BC =2.现将△ABC 绕边AC 旋转一周，则所得到的旋转体的表面积是（      ）
A ．2π
B ．
C ．
πD ．
π
6．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>
本人自评
的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率为（      ）
A
B
C ．2
D ．37．已知实数,a b 满足log log 221a b >>，则（      ）
A ．12a b <<<
B ．12a b <<<
C ．12b a <<<
D ．12a b <<<8．已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是（      ）A ．36
625B ．9
125C ．108
625D ．54
125
9．已知3sin()45
πα-=，则sin 1tan αα-的值为（      ）A
．B
C
．D
固执的人
10．四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结
果，可以判断出一定没有出现点数6的是（      ）．
A ．平均数为3，中位数为2
B ．中位数为3，众数为2
C ．平均数为2，方差为2.4
D ．中位数为3，方差为2.8
11．如图，已知三棱锥A -BCD 的截面MNPQ 平行于对棱AC ，BD ，且
,AC AM m n BD MB
==，其中m ，n ∈（0，+∞）.有下列命题：①对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形；
②当AC ⊥BD 时，对任意的m ，都存在n ，使得截面MNPQ 是正方形；
③当m =1时，截面MNPQ 的周长与n 无关；
④当AC ⊥BD ，且AC =BD =2时，截面MNPQ 的面积的最大值为1.
其中假命题的个数为（      ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
12．已知函数()f x =1ln ,0,e ,0.
x x x x x x +⎧>⎪⎨⎪≤⎩则关于x 的方程2()()10()ef x af x a R --=∈的解的个
数的所有可能值为（      ）
A ．3或4或6
B ．1或3
C ．4或6
D ．3
二、填空题
13．512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为___________（用数字作答）14．已知向量,a b  满足()1,1a =r ，()23,1a b +=-  ，则向量a  与b  的夹角为___________.
15．已知斜率为13
-的直线与椭圆22+197x y =相交于不同的两点A ，B ，M 为y 轴上一点且满足|MA |=|MB |，则点M 的纵坐标的取值范围是___________.
16．在ABC V 中，已知角2π3
A =，角A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，AD =2.则A
B +2A
C 的最小值为
___________.
三、解答题
17．已知等差数列{an }满足2a 2+a 5=0，a 7=2a 4-2.
(1)求{an }的通项公式；
(2)设bn =2n a ，求数列{bn }的前n 项和.
18．某项目的建设过程中，发现其补贴额x （单位：百万元）与该项目的经济回报y （单位：千万元）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表：补贴额x （单位：百万元）
23456
经济回报y （单位：千万
元）  2.5
34  4.56(1)请根据上表所给的数据，求出y 关于x 的线性回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+；(2)为高质量完成该项目，决定对负责该项目的7名工程师进行考核.考核结果为4人优秀，3人合格.现从这7名工程师中随机抽取3人，用X 表示抽取的3人中考核优秀的人数，求随机变量X 的分布列与期望.
参考公式：()()()121ˆˆˆ,n
i i
i n i
i x x y y b a
y bx x x ==--==--∑∑19．如图甲，在直角三角形ABC 中，已知AB BC ⊥，4BC =，8AB =，D ，E 分别是,AB AC 的中点.将ADE V 沿DE 折起，使点A 到达点A '的位置，且A D BD '⊥，连接,A B A C ''，得到如图乙所示的四棱锥A '-BDEC ，M 为线段A D '上一点.
(1)证明：平面A DB '⊥平面BDEC ；
(2)过B ，C ，M 三点的平面与线段A 'E 相交于点N ，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求直线DN 与平面A 'BC 所成角的正弦值
.①BM BE =；②直线EM 与BC 所成角的大小为45︒；③三棱锥M BDE -的体积是三
棱锥'E A BC -体积的1.4
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
20．已知抛物线C ：()220,4y px p p =>≠，过点(2,0)A 且斜率为k 的直线与抛物线C
相交于P ，Q 两点.
(1)设点B 在x 轴上，分别记直线PB ，QB 的斜率为12,k k .若120k k +=，求点B 的坐标；
(2)过抛物线C 的焦点F 作直线PQ 的平行线与抛物线C 相交于M ，N 两点，求||||||
MN AP AQ ⋅的值.21．已知函数()sin 2,f x x ax a R =-∈.
(1)a ≥1
2时，求函数f （x ）在区间[0，π]上的最值；
(2)若关于x 的不等式f （x ）≤ax cos x 在区间（0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩
（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
cos(4
πρθ-=(1)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；
(2)已知点A 的直角坐标为（-1，3），直线l 与曲线C 相交于E ，F 两点，求|AE |·|AF |的值.
23．已知函数()f x =|x -1|+2|x +1|.
(1)求不等式()f x <5的解集；
(2)设()f x 的最小值为m .若正实数a ，b ，c 满足a +2b +3c =m ，求3a 2+2b 2+c 2的最小值.
答案第1页，共17页参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
解一元二次不等式化简集合A ，解指数函数不等式化简集合B ，再求集合的交集.【详解】
{}(){}{20101A x x x x x x x x =->=->=>或}0x <，
{}{}{}0|e 1|e e |0x x B x x x x =≥=≥=≥，
所以{}()|11,A B x x =>=+∞I .
故选：C.
2．A
【解析】【分析】
教师减负
化简得2i 5z -+=
，即得解.【详解】
解：由题得z =
i i(2i 1)2i 2i 1(2i 1)(2i 1)5+-+==--+-，所以|z
故选：A
3．C
【解析】杨贵妃密史
【分析】
将函数解析式化简，利用正弦函数的周期公式可得.
【详解】
因为()21cos 2sin 2()sin sin cos sin sin cos 22
x x f x x x x x x x -=+=+=
+1224x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以最小正周期22
T ππ==.