2009届江苏省东台中学高三第一学期期末数学考试试题卷
一、填空题：
1.设集合⎭⎬⎫⎩
⎨⎧∈==Z n n x x M ,3sin π，则满足条件M P =⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-23,23 的集合P 的个数是
___个 2.
若
cos 2π2sin 4αα=-
⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭，则cos sin αα+= 3．已知O 为直角坐标系原点，P 、Q 的坐标满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≤+-≤-+010220
2534x y x y x ，则P O Q
∠c o s 的
最小值为__________
4.设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA PB =，若直线PA 的方程为
10x y -+=，则直线PB 的方程是_____________________
5.已知函数)(x f 在1=x 处的导数为1，则x
f x f x 2)
1()1(lim 0-+→=___________
6.若两个函数的图象经过若干次平依后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下
列三个函数：()1s i n c o s ,f x x
x =+ (
)2f x x =，()3sin f x x =则
___________________为“同形”函数
7.椭圆12
2
=+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜
率为
b
a
则,23=________ 8.一次研究性课堂上，老师给出函数)(|
|1)(R x x x
x f ∈+=
，三位同学甲、乙、丙在研究此
么的拼音函数时分别给出命题：
甲：函数f (x )的值域为（－1，1）； 乙：若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；
丙：若规定|
|1)()),(()(),()(11x n x x f x f f x f x f x f n n n +===-则对任意*
∈N n 恒成
立.
你认为上述三个命题中正确的个数有__________个
9.过定点P （1,2）的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、，则422
a b +的最小值为 10.若直线2y a =与函数|1|(0x
y a a =->且1)a ≠的图象有两个公共点，则a 的取值范围
是
11.“已知数列{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，若存在正整数(),m n m n ≠，使得
m n S S =，则0m n S +=。”，类比前面结论，若正项数列{}n b 为等比数列，
12. Rt △ABC 中，斜边AB=1,E 为AB 的中点,CD ⊥AB，则))((∙∙的最大值为_________.
13.设A=),,(321a a a ，B=⎪⎪⎪
照落花⎭
⎫ ⎝⎛321b b b ，记A ☉B=max {}332211,,b a b a b a ，若A=)1,1,1(+-x x ，
B=⎪⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛--121x x ，且A ☉B=1-x ，则x 的取值范围为 。 14.设A 为锐角三角形的内角，a 是大于0的正常数，函数A
a
A y cos 1cos 1-+
=
的最小值是9，
则a =___ _ 二、解答题
15.已知32()31f x ax x x =+-+，a R ∈．
（1）当3a =-时，求证：()f x 在R 上是减函数；
（2）如果对x R ∀∈不等式()4f x x '≤恒成立，求实数a 的取值范围．
16.在△ABC 中，c b a ,，分别为角A 、B 、C 的对边，5
82
22bc
b c a -=-，a =3, △ABC 的面积为6，D 为△ABC 内任一点，点D 到三边距离之和为d 。
⑴求角A 的正弦值； ⑵求边b 、c ； ⑶求d 的取值范围
17.已知：正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点．
(Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥；(Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ； （Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积．
18.已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知圆2
2
:1O x y +=，直线:1l mx ny +=.试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时, 直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.
A
D 1
马油的功效1A E C
19.某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污染指标f(t)与时间t （单位：小时）之间的关系的函数模型：
1
()()2[0,24)3
f t
g t a a t =+-+∈，，其中，1()sin(18)224g t t π=-代表大气中某类随时间t 变化
的典型污染物质的含量；参数a 代表某个已测定的环境气象指标，且]4
3,0[∈a 。 ⑴ 求g(t)的值域； ⑵ 求M （a ）的表达式；
⑶若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过2.0，试问：若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由。
20.已知函数)(3)(3
端午祝福语简短优美R a ax x x f ∈-= （1）当1=a 时，求)(x f 的最小值；
（2）若直线0=++m y x 对任意的R m ∈都不是曲线)(x f y =的切线，
求a 的取值范围
（3）设]1,1[|,)(|)(-∈=x x f x g ，求)(x g 的最大值)(a F 的解析式。
参考答案：
1. 4
2.
齐白石作品12 3.22 3. 21 4. 50x y +-= 5. 12
6. ()()12,f x f x
7. 23 8. 3 9.32 10. 1
(0,)2
11. 它的前n 项乘积为n T ，若m n T T =，则1m n T += 12.
27
2
13. [1，1+2] 14. 4 15．解：（1）当3a =-时，32()331f x x x x =-+-+，
∵/2()961f x x x =-+-2(31)0x =--≤，∴()f x 在R 上是减函数.
（2）∵x R ∀∈不等式()4f x x '≤恒成立，即x R ∀∈不等式23614ax x x +-≤恒成立， ∴x R ∀∈不等式23210ax x +-≤恒成立. 当0a =时，x R ∀∈ 210x -≤不恒成立； 当0a <；时，x R ∀∈不等式23210ax x +-≤恒成立，即4120a ∆=+≤，∴1
3
a ≤-.
当0a >时，x R ∀∈不等式2
3210ax x +-≤不恒成立. 综上，a 的取值范围是
1(]3
-∞-，. 16．解：(1) 5
8222bc b c a -
=-⇒
5
4
2222=
-+bc a c b ⇒54
cos =A ⇒5
3sin =A
(2) 65
3
21sin 21=⋅==∆bc A bc S ABC ，=∴bc 20水晶肘花
由5
42222=-+bc a c b 及=bc 20与a =3解得b=4，c=5或b=5,c= 4
(3)设D 到三边的距离分别为x 、y 、z ，则6)543(2
1
=++=∆z y x S ABC
)2(51512y x z y x d ++=++= 又x 、y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+，
，，
001243y x y x
画出不等式表示的平面区域得：45
12
<<d
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