极限的二十四种定义
    “极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。 此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近a点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值a叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。
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    数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大(或者变小)的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值a不断地逼近而“永远不能够重合到a”(“永远不能够等于a，但是取等于a‘已经足够取得高精度计算结果)的过程中。
    数列音速
    定义
    可定义某一个数列{xn}的发散：
    设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε (不论其多么小)，
总存在正整数n，使得当n\uen时，均有 不等式成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn} 收敛于a。记作 或 。
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    如果上述条件不设立，即为存有某个正数ε，无论正整数n为多少，都存有某个n\uen，使 ，就说道数列{xn}不发散于a。如果{xn}不发散于任何常数，就表示{xn}收敛。
    对定义的理解：
    1、ε的任意性　定义中ε的促进作用是来衡量数列通项 与常数a的吻合程度。ε越大，则表示吻合得越将近;而正数ε可以任一地变大，表明xn与常数a可以吻合至任何不断地紧邻的程度。但是，尽管ε存有其任意性，但一经得出，就被暂时地确认下来，以便依靠它用函数规律xi出来n;
    又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2 等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。
中考英语    2、n的适当性　一般来说，n随ε的变大而变小，因此常把n文学创作n(ε)，以特别强调n
对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味著n就是由ε唯一确认的：(比如说若n\uen并使 设立，那么似乎n\uen+1、n\ue2n等也并使 设立)。关键的就是n的存有性，而不是其值的大小。
    3、从几何意义上看，“当n\uen时，均有不等式 成立”意味着：所有下标大于n的 都落在(a-ε，a+ε)内;而在(a-ε，a+ε)之外，数列{xn} 中的项至多只有n个(有限个)。换句话说，如果存在某 ，使数列{xn} 中有无穷多个项落在(a-ε0，a+ε0) 之外，则{xn} 一定不以a为极限。
    特别注意几何意义中：1、在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有n个(非常有限个)点;2、所有其他的点 (无穷个)都落到该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能够达至这两个建议，则数列发散于a;而如果一个数列发散于a，则这两个条件都能够满足用户。换句话说，如果只晓得区间(a-ε，a+ε)之内存有{xn}的无数项，无法确保(a-ε，a+ε)之外只有非常有限项，就是无法得出结论{xn}发散于a的，在搞判断题的时候尤其必须特别注意这一点。
    性质
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    1、唯一性：若数列的音速存有，则极限值就是唯一的，且它的任何子列的音速与原数列的成正比。
    2、有界性：如果一个数列’收敛‘(有极限)，那么这个数列一定有界。
    但是，如果一个数列存有界，这个数列未必发散。比如数列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”
    3、保号性：若 (或n时有 (相应的 )。
名英文    4、保与不等式性：设立数列{xn} 与{yn}均发散。若存有正数n ，使当n\uen时存有 ，则 (若条件换为 ，结论维持不变)。
    5、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列 也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。
    6、与子列的关系：数列{xn} 与它的任一理想子列同为发散或收敛，且在发散时存有相同的音速;数列 发散的充要条件就是：数列{xn} 的任何非理想子列都发散。刘海图片
    单调收敛定理
    单调存有界数列必发散。
    柯西收敛原理
    设立{xn} 就是一个数列，如果对任一ε\ue0，存有n∈z*，只要 n 满足用户 n \ue n，则对于任一正整数p，都存有 ，这样的数列 便称作柯西数列。
    这种渐进稳定性与收敛性是等价的。即为充分必要条件。
    音速思想
    简介
    音速的思想就是近代数学的一种关键思想，数学分析就是以音速概念为基础、音速理论(包含级数)为主要工具去研究函数的一门学科。
    所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。
    用音速思想解决问题的通常步骤可以归纳为：
    对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量;用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
    音速思想就是微积分的基本思想，就是数学分析中的一系列关键概念，例如函数的连续性、导数(为0获得极大值)以及的定分数等等都就是借助音速去定义的。如果必须反问：“数学分析就是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用音速思想去研究函数的一门学科，并且计算结果误差大至难于想象，因此可以忽略不计。
    极限的产生与发展
    (1)由来
    与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的大脑抽象思维的产物。极限的思想可以追溯到古代，例如，祖国刘徽的割圆术就是建立在直观图形研究的基础上的一种原始的可靠的“不断靠近”的极限思想的应用;古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希
腊人“对’无限‘的恐惧”，他们避免明显地人为“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
    至了16世纪，荷兰数学家斯泰文在实地考察三角形战略重点的过程中，改良了古希腊人的穷竭法，他利用几何直观，大胆地运用音速思想思考问题，退出了归缪法的证明。如此，他就在无意中“表示了把音速方法发展沦为一个新颖概念的方向”。
    (2)发展
    音速思想的进一步发展就是与微积分的创建紧密相联系则的。16世纪的欧洲处在资本主义原始社会时期，生产力获得很大的发展，生产和技术中碰到大量的问题，已经开始人们就用初等数学的方法已无法化解，建议数学突破’只研究常量‘的传统范围，而寻能提供更多能够叙述和研究运动、变化过程的新工具，就是推动’音速‘思维发展、创建微积分的社会背景。
    起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立了微积分，后来因遇到逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用’路程的改变量δs‘与’时间的改变量δt‘之
比 “ ” 表示运动物体的平均速度，让δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时， 无限地接近于常数a，那么就说 以a为极限。
    正因为当时缺少严苛的音速定义，微积分理论才受人们对于科学理论的猜测与反击，比如，在物理学的’瞬时速度‘概念，究竟δt(变化量)与否等于零?如果说就是零，(因为真理如果被无穷不断扩大其适用范围也可以变成错误)：怎么能够用它回去并作乘法呢?(其实变化量不可能将为0)。但是人们指出，如果它不是零，计算机和函数变形时又怎么能够把涵盖着它的那些“微小的量”项换成呢?当时人们不认知，想要全然没一点点误差地展开变量的排序而引致压制指出出现悖论，这就是数学史上所说的无穷小悖论产生的原因。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的反击最为惨烈，他说道微积分的推论就是“分野的存在主义”。科学发展的历史和顺利说明他的观点就是错的。
    贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，和变通的解决办法，连名人牛顿也无法摆脱‘极限概念’中的混乱。这个事实表明，弄清“极限”概念，它是一个动态的量的无限变化过程，微小的变量趋势方向上当然可以极为精密地近似等于某一个常量。这是建立严格的微积分理论的思想基础，有着认识论上的科学研究的工具的重大意义。
    (3)健全
    极限思想的完善，与微积分的严格化的密切联系。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试“彻底满意”地解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们习惯于用不变化的常量去思维，分析问题。对“变量”特有的概念理解还不十分清楚;对“变量数学”和“常量数学”的区别和联系还缺乏了解;对“有限”和“无限”的对立统一关系还不明确。这样，人们使用习惯的处理常量数学的传统思想方法，思想僵化，就不能适应‘变量数学’的新发展。古代的人们习惯用旧概念常量就说明不了这种 [“零”与“无限靠近零的非零数值”之间可以人为的微小距离跳跃到相等的相互转化]的科学性结论的辩证关系。
    至了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明晰地则表示必须将音速做为微积分的基础概念，并且都对音速做出过，各自的定义。其中达朗贝尔的定义就是：“一个量就是另一个量的音速，假如第二个量比任一取值的值更为吻合第一个量”，其叙述的内涵吻合于‘音速的恰当定义;然而，这些人的定义都无法彻底摆脱对几何直观的倚赖。观点也就可以如此，因为19世纪以前的算术和几何概念，大部分都就是创建在几何量的概念上的。其实，“解构”不是思维滞后的代名词，对于几何直观的研究不是思维滞后的代名词，因为在今天仍然就是可以用函数’态射‘为图形，去研究较为繁杂的趋势问题。如果存有趋势则音速概念能设立。比如“解构”图形替代函数可以杀害直观地证明某一个没规律可以叙述的'向用户久攻不下的命题无法设立;(或另外一个函数却能设立)， 再分别并作具体内容的“符号方式”的数学证明。